Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

246 0 a φ In diesem Lehrwerk sind wir von den natürlichen Zahlen ausgegangen und haben die Zahlbereiche schrittweise erweitert: N ² Z ² Q ² R ² C . Dies entspricht im Großen und Ganzen der Geschichte der Mathematik. Im Folgenden wollen wir uns die Entstehung der einzelnen Zahlbereiche etwas genauer ansehen. Natürliche Zahlen Die natürlichen Zahlen sind uralte Erfindungen der Menschen und wurden auf sehr verschiedene Weisen dargestellt, zB durch Haufen von Steinen oder Muscheln, durch Kerben auf einem Knochen, durch Knoten in einer Schnur und Ähnliches. Abb. 10.1 zeigt ein Quipu der Inkas. Die Knoten der Schnüre stellen Zahlen dar. Zählen war vielfach nicht notwendig. Wenn etwa ein Hirte seine Schafe auf die Weide entließ, warf er für jedes Schaf einen Stein auf einen Haufen. Wenn die Schafe wieder heimkehrten, nahm er für jedes Schaf wieder einen Stein weg. Blieb ihm kein Stein übrig, wusste er, dass kein Schaf verlo- ren gegangen war. Primitive Völker konnten meist nicht sehr weit zählen; sie zählten im Prinzip: eins, zwei, viele. Anstelle von Steinen, Muscheln, Kerben, Knoten etc. wurden auch schon früh Zahlworte verwen- det. Diese waren allerdings oft noch sehr an die gezählten Dinge gebunden. Es gab zB einen Stamm in British Columbia, der verschiedene Zahlworte verwendete, je nachdem, ob lebende, runde, lange Objekte oder Tage gezählt wurden. Bei den Griechen waren die natürlichen Zahlen zwar nicht mehr an konkrete Objekte gebunden, doch waren ihre Überlegungen zunächst stark von den Rechensteinen beeinflusst, die sie zum Rechnen verwendeten. Die Pythagoräer legten diese Steine zu Figuren auf. Zum Beispiel betrach- teten sie die „Dreieckszahlen“ 1, 3, 6, 10, …, die sich in Dreiecksform wie in Abb. 10.2 darstellen lassen, und die „Quadratzahlen“, die sich in Quad- ratform wie in Abb. 10.3 darstellen lassen. Dabei entdeckten sie interessante Zusammenhänge. Zum Beispiel kann man aus Abb. 10.3 erkennen, dass jede Quadratzahl die Summe von aufeinan- der folgenden ungeraden Zahlen ist, zB 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. Man erkennt dies, wenn man zu den jeweils vorhandenen schwarzen Steinen die ro- ten Steine dazulegt. Abb. 10.2: Dreieckszahlen Abb. 10.3: Quadratzahlen Während die vorgriechischen Völker Zahlen bloß benützten, haben die Griechen zum ersten Mal gefragt: Was ist eigentlich eine Zahl? ARISTOTELES (384 – 322 v.Chr.) gab im Wesentli- chen die Antwort: „Eine Zahl ist eine aus Einhei- ten zusammengesetzte Vielheit“. Da die Einheit selbst keine Vielheit ist, wurde die Einheit (also 1) nicht als Zahl angesehen. So führte beispielswei- se EUKLID (um 300 v.Chr.) einige seiner Beweise doppelt, einmal für Zahlen (größer als 1) und ein- mal für die Einheit (1). 1 3 6 10 15 1 4 9 16 25 10.7 Historisches aus den Zahlbereichen Abb. 10.1: Quipu der Inkas Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv