Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

245 10.6 Polardarstellung und Exponentialdarstellung komplexer Zahlen Für n ¥ • nähert sich 1 +   x _ n · i unbegrenzt der Zahl 1. Damit kommt auch r n der Zahl 1 beliebig nahe. Somit nähern sich die beiden Schranken von n · φ n beide der Zahl x. Daher nähert sich auch n · φ n selbst zwangsläufig der Zahl x. Daraus folgt: e xi = lim    n ¥• 2 1 +   x _ n · i  3 n = cos x + i · sin x  Aufgrund der Euler’schen Formel kann man eine komplexe Zahl A = r · (cos x + i · sin x) auch in der Form A = r · e xi darstellen. Diese Darstellung heißt Exponentialdarstellung von A . Für x = 2 π ergibt sich aus der Euler’schen Formel: e 2 π i = cos (2 π ) + i · sin (2 π ) = 1 + i · 0 = 1. Also: e 2 π i = 1 Diese Formel wird manchmal als „schönste Formel der Mathematik“ bezeichnet. Sie ist in der Tat bemerkenswert, weil sie eine überraschend einfache Beziehung zwischen drei prominenten Zahlen der Mathematik angibt, die zunächst scheinbar nichts miteinander zu tun haben, nämlich e, π und i. Algebraische Gleichungen mit komplexen Koeffizienten Definition Eine Gleichung der Form a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 (mit a n , a n – 1 , …, a 0 * C und a n ≠ 0) heißt (algebraische) Gleichung vom Grad n mit komplexen Koeffizienten . Eine solche Gleichung hat höchstens n komplexe Lösungen. Darüber hinaus gilt auch hier der Fundamentalsatz der Algebra: Jede Gleichung dieser Art hat mindestens eine komplexe Lösung. Für quadratische Gleichungen mit komplexen Koeffizienten kann man wie für quadratische Gleichungen mit reellen Koeffizienten Folgendes herleiten: Satz (1) Für eine quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 mit p, q * C gilt: x 2 + px + q = 0 É x = –   p _ 2 ± 9 ____ 2    p _ 2   3 2 – q (wobei der Hauptwert der Wurzel zu nehmen ist) (2) Für eine quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 mit a, b, c * C gilt: ax 2 + bx + c = 0 É x =   –b ± 9 _____ b 2 – 4ac __  2a  (wobei der Hauptwert der Wurzel zu nehmen ist) Aufgaben Vertiefung 10.54 Ermittle x * C ! a) (1 + 9i) + x = 4 + 7i c)   x _  2 – i  +   x _  2 + i  = 1 e) – 5i · x = 8 – 2i b) (2 – i) · x = 5 + 10i d)   1 _ x = 1 – i f) 2x + 2    1 _ 2 –   1 _ 2 i  3 = x + 2    2 _  3 –   1 _ 3 i  3 10.55 Ermittle alle komplexen Lösungen der Gleichung und mache die Probe! a) x 2 + ix – 1 = 0 d) – ix 2 + x + 2,5i = 0 g) (1 + i)x 2 + ix + 1 – i = 0 b) x 2 – ix + 6 = 0 e) 2x 2 + 2(1 + i)x + i = 0 h) (2 – i)x 2 + 2x + 2 + i = 0 c) ix 2 – 2x + i = 0 f ) 2x 2 – 6(1 + i)x + 9i = 0 i) ix 2 + (1 + i)x + 0,5 = 0 10.56 Gib eine quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten an, die folgende Lösungen hat: a) x = 1 + i = x = 3 – i b) x = i = x = 1 – i c) x = 1 = x = 2 + i 10.57 Unter welchen Voraussetzungen hat eine quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten zwei Lösungen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden? Begründe die Antwort! Ó Lernapplet c2n648 B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv