Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

244 10 Komplexe Zahlen 10.50 Sei A = 27 · (cos75° + i · sin75°). Berechne alle dritten Wurzeln aus A und stelle sie in der Gauß’schen Zahlenebene dar! Was fällt auf? Lösung: W 1 = 3 9 __ 27· [cos(25° + 0 · 120°) + i · sin(25° + 0 · 120°)] = = 3 · (cos 25° + i · sin25°) W 2 = 3 9 __ 27· [cos(25° + 1 · 120°) + i · sin(25° + 1 · 120°)] = = 3 · (cos145° + i · sin145°) W 3 = 3 9 __ 27· [cos(25° + 2 · 120°) + i · sin(25° + 2 · 120°)] = = 3 · (cos 265° + i · sin265°) Die den Wurzeln entsprechenden Punkte liegen auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius 3 und bilden die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks. Allgemein gilt: Alle Lösungen der Gleichung x n = A haben den gleichen Betrag n 9 _ r. Die zugeordneten Punkte in der Gauß’schen Zahlenebene liegen somit auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius n 9 _ r. Da ihre Argumente schrittweise um   360° _ n  zunehmen, bilden sie die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks. Aufgaben Vertiefung 10.51 Berechne alle Quadratwurzeln aus A und stelle sie als Punkte in der Gauß’schen Zahlenebene dar! a) A = 4 · (cos 68° + i · sin68°) b) A = 9 · (cos112° + i · sin112°) c) A = 2 · (cos 90° + i · sin90°) 10.52 Berechne alle dritten Wurzeln aus A und stelle sie in der Gauß’schen Zahlenebene dar! Was lässt sich über die Lage der Punkte aussagen? Wie lautet der Hauptwert? a) A = cos 54° + i · sin54° b) A = 8 · (cos 99° + i · sin99°) c) A = 3 · (cos270° + i · sin270°) 10.53 Gib alle komplexen Lösungen der Gleichung in Polardarstellung und in der Form a + b· i an! a) x 2 = 1 + i b) x 2 = 4 – 3i c) x 3 = 2 + 2i d) x 3 = – i e) x 4 = 1 f) x 6 = –1 Exponentialdarstellung komplexer Zahlen Für x * R gilt: e x = lim    n ¥• 2 1 +   x _ n   3 n . Ersetzen wir in dieser Formel x durch x · i, so erhalten wir die folgende Definition im Komplexen: Definition e xi = lim    n ¥• ( 1 +   x _ n · i  ) n (x * R ) Satz Euler’sche Formel: e xi = cos x + i · sinx (x * R ) Beweis: Wir beweisen die Formel für x * R 0   + (für x * R – kann man ähnlich vorgehen). Wir setzen: 1 +   x _ n · i = r n · (cos φ n + i · sin φ n ) ( φ n im Bogenmaß) Nach der Formel von de Moivre gilt dann: 2 1 +   x _ n · i  3 n = r n n · (cos(n · φ n ) + i · sin(n · φ n )) Außerdem gilt (siehe nebenstehende Abbildung): sin φ n ª φ n ª tan φ n w     x _ n _  r n ª φ n ª     x _ n _  1 w   x _  r n · n ª φ n ª   x _ n w   1 _  r n · x ª n · φ n ª x 0 25° W 1 145° 265° 3 3 3 reelle Achse imaginäre Achse W 3 W 2 i imaginäre Achse reelle Achse 1 tan φ n φ n φ n r n sin φ n 1 + ·i x n ·i x n Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv