Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

243 10.6 Polardarstellung und Exponentialdarstellung komplexer Zahlen Aufgaben Vertiefung 10.44 Berechne A 2 und A 3 ! a) A = 2 · (cos75° + i · sin75°) b) A = 3 · (cos 86° + i · sin86°) c) A =   1 _ 2 · (cos170° + i · sin170°) 10.45 Berechne A 2 , A 3 und A 4 in der Darstellung a + b· i und in Polardarstellung! a) A = 3 + 9 _ 3· i b) A = 1 – 9 _ 3· i c) A =   1 _  2 +   1 _ 2 i d) A = 1 – i 10.46 Stelle in der Gauß’schen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen A dar, für die gilt: a) † A † = 3 b) † A † = r (r * R + ) c) † A – 2 † = 1 d) † A – 1 † = 3 10.47 Für die komplexe Zahl A gelte † A † = 1 und a) argA = 120°, b) argA = 135°, c) argA = 150°. Berechne A 2 , A 3 , A 4 , … und stelle diese Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene dar! Was fällt auf? 10.48 Zeige, dass für alle komplexen Zahlen A, B gilt: † A + B † 2 + † A – B † 2 = 2( † A † 2 + † B † 2 ) 10.49 Zeige: Für zwei komplexe Zahlen A, B mit † A † = † B † gilt A 2 + B 2 = 0 genau dann, wenn † argA – argB † = 90°. Wurzeln aus komplexen Zahlen Auf Seite 234 haben wir festgestellt, dass die Gleichung x 2 = – a (mit a * R + ) die Lösungen x = 9 _ a· i und x = – 9 _ a· i hat. Um das Wurzelsymbol eindeutig zu machen, haben wir festgelegt: 9 __ – a= 9 _ a· i. In der höheren Mathematik ist es aber üblich, auf die Eindeutigkeit des Wurzel symbols zu verzichten und beide Lösungen der Gleichung x 2 = – a mit 9 __ – azu bezeichnen. Dabei nennt man die Zahl 9 _ a· i den Hauptwert von 9 __ –a . Analog setzt man fest: Definition Jede Lösung der Gleichung x n = A (mit A * C ) wird mit n 9 _ a bezeichnet. Die Lösungen dieser Gleichung können wir ermitteln, wenn wir A in Polardarstellung anschreiben: A = r · (cos φ + i · sin φ ) Jede komplexe Zahl W k = n 9 _ r· 4 cos 2   φ  _ n + (k – 1) ·   360° _ n    3 + i · sin 2   φ  _ n + (k – 1) ·   360° _ n    3   5 mit n, k * N * ist eine Lösung der Gleichung x n = A. Denn nach der Formel von de Moivre gilt: W k n = ( n 9 _ r) n · 4 cos 2 n · 2   φ  _ n + (k – 1) ·   360° _ n    3   3 + i · sin 2 n · 2   φ  _ n + (k – 1) ·   360° _ n    3   3   5 = = r · 4 cos( φ + (k – 1) · 360°) + i · sin( φ + (k – 1) · 360°)  5 = r · (cos φ + i · sin φ ) = A Für k = 1, 2, 3, …, n ergeben sich n verschiedene Lösungen, weil das Argument jeweils um   360° _ n  zunimmt. Für k = n + 1, n + 2, … wiederholen sich die schon erhaltenen Lösungen. Wir haben damit bewiesen: Satz Alle n-ten Wurzeln aus einer komplexen Zahl A (mit n * N *) sind gegeben durch W k = n 9 _ r· 4 cos 2    φ _ n + (k – 1) ·   360° _ n    3 + i · sin 2    φ _ n + (k – 1) ·   360° _ n    3   5 für k = 1, 2, …, n . Die Wurzel W 1 mit k = 1 bezeichnet man als Hauptwert von n 9 _ a . Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv