Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

242 10 Komplexe Zahlen Mit Hilfe der Polardarstellung lassen sich die Multiplikation und Division komplexer Zahlen geometrisch darstellen. Multiplikation: Aus der Formel A · B = r · s · [cos( φ + ψ ) + i · sin( φ + ψ )] ergibt sich: Der zu A gehörige Pfeil wird um ψ = argB entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht und mit dem Faktor s = † B † gestreckt bzw. gestaucht. Division: Aus der Formel ​  A _  B ​= ​  r _ s ​· [cos( φ – ψ ) + i · sin( φ – ψ )] ergibt sich: Der zu A gehörige Pfeil wird um ψ = argB im Uhrzeigersinn gedreht und mit dem Faktor ​  1 _  s ​= ​  1 _ † B † ​ gestreckt bzw. gestaucht. Aufgaben Vertiefung 10.41 Stelle die Zahlen A und B als Pfeile in der Gauß’schen Zahlenebene dar und konstruiere daraus das Produkt A · B! a) A = 3 · (cos 45° + i · sin45°), B = 2 · (cos 30° + i · sin30°) b) A = 2 · (cos 220° + i · sin220°), B =2,5 · (cos 300°+ i · sin300°) 10.42 Stelle die Zahlen A und B als Pfeile in der Gauß’schen Zahlenebene dar und konstruiere daraus den Quotienten ​  A _  B ​! a) A = 6 · (cos 80° + i · sin80°), B = 3 · (cos 55° + i · sin55°) b) A = 8 · (cos150° + i · sin150°), B = 2 · (cos 200° + i · sin200°) Potenzen komplexer Zahlen in Polardarstellung 10.43 1) Zeige mit dem 1. Additionstheorem: sin (2 φ ) = 2 · sin φ · cos φ und cos (2 φ) = cos 2 φ – sin 2 φ 2) Zeige mit Hilfe dieser Formeln: A = cos φ + i · sin φ w  A 2 = cos (2 φ ) + i · sin (2 φ ) Lösung: 1) sin (2 φ ) = sin ( φ + φ ) = sin φ · cos φ + cos φ · sin φ = 2 · sin φ · cos φ cos (2 φ ) = cos ( φ + φ ) = cos φ · cos φ – sin φ · sin φ = cos 2 φ – sin 2 φ 2) A 2 = (cos φ + i · sin φ ) 2 = cos 2 φ + i · 2sin φ · cos φ + i 2  · sin 2 φ = = cos 2 φ – sin 2 φ + i · 2sin φ · cos φ = cos (2 φ ) + i · sin (2 φ ) Allgemein gilt eine Formel, die auf Abraham de Moivre (1667–1754) zurückgeht: Satz Formel von DE MOIVRE: Für n * N * gilt: A = cos φ + i · sin φ w ​ A​ n ​= cos(n φ ) + i · sin(n φ ) Daraus folgt: Satz Potenzen einer komplexen Zahl mit Exponenten aus N *: A = r · (cos φ + i · sin φ )  w ​ A​ n ​= ​r​ n ​· [cos(n φ ) + i · sin(n φ )] 1 0 A B i ψ φ ψ A·B reelle Achse imaginäre Achse A B φ – ψ ψ A B 0 reelle Achse imaginäre Achse 1 i Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv