Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

241 10.6 Polardarstellung und Exponentialdarstellung komplexer Zahlen Aufgaben Vertiefung 10.38 Berechne Betrag und Argument der komplexen Zahl! a) 3 – 4i c) – 4i e) 12 – 35i b) 5 + 12i d) 7 + 24i f) 2,1 – 20i 10.39 Gib die komplexe Zahl in Polardarstellung an! a) 3 + 4i c) 5 – 12i e) 6 + 8i g) i i) 3 b) 4 – 3i d) – ​  3 _ 2 ​+ 2i f) 15 – 8i h) – 5i j) 17,5i 10.40 Gib die komplexe Zahl in der Form a + b· i an! a) 5 · (cos 30° + i · sin30°) d) 4 · (cos 300° + i · sin300°) g) 7 · (cos180° + i · sin180°) b) 4 · (cos120° + i · sin120°) e) 6,7 · (cos172° + i · sin172°) h) 5 · (cos 0° + i · sin0°) c) 6 · (cos 200° + i · sin200°) f) 6 · (cos 90° + i · sin90°) i) 5 · (cos 270° + i · sin270°) Multiplizieren und Dividieren komplexer Zahlen in Polardarstellung Gegeben seien zwei komplexe Zahlen in Polardarstellung: A = r · (cos φ + i · sin φ ) und B = s · (cos ψ + i · sin ψ ) Dann gilt: A · B = [r · (cos φ + i · sin φ )] · [s · (cos ψ + i · sin ψ )] = = r · s · (cos φ + i · sin φ ) · (cos ψ + i · sin ψ ) = = r · s · [(cos φ · cos ψ – sin φ · sin ψ ) + i · (sin φ · cos ψ + cos φ · sin ψ )] Nach dem ersten Additionstheorem (siehe Mathematik verstehen 6, Seite 90) folgt: A · B = r · s · [cos( φ + ψ ) + i · sin( φ + ψ )] In ähnlicher Weise kann man zeigen: ​  A _  B ​= ​  r _ s ​· [cos( φ – ψ ) + i · sin( φ – ψ )] Wir fassen zusammen: Satz Sind A = r · (cos φ + i · sin φ ) und B = s · (cos ψ + i · sin ψ ) zwei komplexe Zahlen, so gilt: (1) A · B = r · s · [cos( φ + ψ ) + i · sin( φ + ψ )] (2) ​  A _ B ​= ​ r  _ s ​· [cos( φ – ψ ) + i · sin( φ – ψ )] Daraus ergibt sich unmittelbar: Satz Sind A und B zwei von 0 verschiedene komplexe Zahlen, dann gilt: (1) † A · B † = † A † ·  † B † und  arg(A · B) = ​ {  ​  argA + argB , argA + argB – 360° , ​ ​  ​  falls argA + argB < 360° falls argA + argB º 360° ​ (2) ​ †  ​  A _ B ​  † ​= ​  † A †  _  † B † ​ und  arg ​ A  _ B ​ = ​ {  ​  argA – argB , argA – argB + 360° , ​ ​  ​  falls argA – argB º 0° falls argA + argB < 0° ​ Merke � Der Betrag des Produkts (Quotienten) ist gleich dem Produkt (Quotienten) der Beträge. � Das Argument des Produkts (Quotienten) ist gleich der Summe (Differenz) der Argumente (wobei allenfalls 360° addiert oder subtrahiert werden muss, weil das Polarwinkelmaß im Intervall [0°; 360°[ liegen muss). Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv