Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

240 0 a φ 10.6 Polardarstellung und Exponentialdarstellung komplexer Zahlen Polardarstellung einer komplexen Zahl Ist eine von 0 verschiedene komplexe Zahl a + b· i als Punkt P = (a 1 b) in der Gauß’schen Zahlenebene dargestellt, so kann man den Punkt P auch durch seine Polarkoordinaten r und φ angeben: P = [r 1 φ ] mit r * R + und φ * [0°; 360°[ Definition Die komplexe Zahl a + b· i ≠ 0 sei in der Gauß’schen Zahlenebene durch den Punkt P = (a 1 b) = [r 1 φ ] dargestellt. r heißt Betrag von a + b· i. Man schreibt: r = † a + b·i † φ heißt Argument von a + b· i. Man schreibt: φ = arg(a + b·i) Für die komplexe Zahl 0 setzt man † 0 † = 0, arg0 ist jedoch nicht definiert. Wir erinnern uns daran, dass die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten und umgekehrt mit Hilfe der folgenden Formeln durchgeführt werden kann: r = 9 ____ a 2 + b 2  , tan φ =   b _ a (falls a ≠ 0) bzw. a = r · cos φ , b = r · sin φ Damit ergibt sich: a + b · i = r · cos φ + r · sin φ · i = r · (cos φ + i · sin φ ) Diese Darstellung heißt Polardarstellung der komplexen Zahl a + b· i. Wir fassen zusammen: Satz Ist a + b · i eine von 0 verschiedene komplexe Zahl, r = † a + b· i † und φ = arg(a + b · i), dann gilt: (1) r = 9 ____ a 2 + b 2   , tan φ =   b _ a (falls a ≠ 0) (2) a = r · cos φ , b = r · sin φ (3) a + b· i = r·(cos φ + i·sin φ ) (Polardarstellung von a + b· i) 10.36 Berechne Betrag und Argument der komplexen Zahl 5 – 12i und gib die Zahl in Polardarstellung an! Lösung: r = 9 ______ 5 2 + (–12) 2  = 9 __ 169= 13, tan φ =   –12 _  5  w φ ≈ 292,6° (wegen φ * Q IV) Somit gilt: 5 – 12i ≈ 13 · (cos 292,6° + i · sin292,6°) 10.37 Stelle die komplexe Zahl 5 · (cos140° + i · sin140°) in der Form a + b· i dar! Lösung: a = 5 · cos140° ≈ – 3,83, b = 5 · sin140° ≈ 3,21 Damit ergibt sich: 5 · (cos140° + i · sin140°) ≈ –3,83 + 3,21 · i 0 a φ b r P reelle Achse imaginäre Achse 0 a φ b r P reelle Achse imaginäre Achse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv