Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

24 2 Grundbegriffe der Differentialrechnung Neigungswinkel einer Tangente Unter dem Neigungswinkel einer Geraden g versteht man den Winkel, den die Gerade mit der positiven 1. Achse (x-Achse) einschließt (siehe Abb. 2.4 a, b). Für das Maß α des Neigungswinkels gilt stets 0° ª α < 180°. Abb. 2.4a Abb. 2.4b In Abb. 2.4a gilt: k = ​  b _ a ​= tan α In Abb. 2.4b gilt: k = – ​  b _ a ​= – tan(180° – α ) = tan α In beiden Fällen gilt also: k = tan α . Insbesondere gilt für eine Tangente: f’(x) = k = tan α . Wir halten fest: Satz Ist k die Steigung und α das Maß des Neigungswinkels der Tangente an den Graphen einer Funktion f an der Stelle x, so gilt: f’(x) = k = tan α 2.36 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 . 1) Berechne die Steigungen von f an den Stellen –2 und 1! 2) Zeichne den Graphen von f und zeichne die Tangenten in den Punkten P = (–2 1 f(– 2)) und Q = (1 1 f(1)) ein! 3) Berechne die Neigungswinkel der Tangenten in diesen Punkten! 4) Gib Gleichungen der Tangenten an den Graphen von f in den Punkten P und Q an! Lösung: 1) f’(x) = ​ lim  z ¥ x​ ​​  z 2 – x 2 _  z – x  ​= ​ lim  z ¥ x​ ​​  (z + x)(z – x) __  z – x  ​= ​ lim    z ¥ x​ ​(z + x) = 2x f’(– 2) = 2 · (– 2) = – 4 f’(1) = 2 · 1 = 2 2) Siehe nebenstehende Abbildung! 3) Tangente in P = (– 2 1 f(– 2)): tan α 1 = – 4  w α 1 ≈ 104,0° Tangente in Q = (1 1 f(1)): tan α 2 = 2  w α 2 ≈ 63,4° 4) Tangente in P: y = – 4x – 4 (Rechne nach! Beachte k = f’(– 2)!) Tangente in Q: y = 2x – 1 (Rechne nach! Beachte k = f’(–1)!) Aufgaben Grundkompetenzen 2.37 (Fortsetzung von 2.36) 1) Berechne die Neigungswinkel der Tangenten in den Punkten P = (–1 1 f(–1)) und Q = (2,5 1 f(2,5))! 2) In welchen Punkten ist der Neigungswinkel der Tangente gleich 45° bzw. 135°? 3) In welchen Punkten gilt für den Neigungswinkel α der Tangente: 0° ª α < 90°? 4) In welchen Punkten gilt für den Neigungswinkel α der Tangente: 90° < α < 180°? 1. A. 2. A. α g b a 1. A. 2. A. α g b a α 2 0 1 –1 –2 –3 –4 2 3 4 5 1. A. 2. A. 1 2 3 α 1 4 5 6 7 –1 –2 P Q f Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv