Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

236 10 Komplexe Zahlen Der Fundamentalsatz der Algebra wurde zum ersten Mal von Carl Friedrich Gauss bewiesen. Die Bedeutung dieses Satzes liegt in seiner Anwendung auf Zahlbereichserweiterungen. Diese wurden hauptsächlich deshalb vorgenommen, damit mehr Gleichungen gelöst werden können. Beispiele:    Die Gleichung x + 1 = 0 hat keine Lösung in N , wohl aber eine in Z . „„ Die Gleichung 3x = 2 hat keine Lösung in Z , wohl aber eine in Q . „„ Die Gleichung x 2 = 2 hat keine Lösung in Q , wohl aber Lösungen in R . „„ Die Gleichung x 2 + 1 = 0 hat keine Lösung in R , wohl aber Lösungen in C . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist nun jede algebraische Gleichung in C lösbar. Es besteht also – zumindest vom Standpunkt des Gleichungslösens aus – keine Notwendigkeit, die Menge C der komplexen Zahlen abermals zu erweitern. Aufgaben Grundkompetenzen 10.23 Gib die Lösungen der quadratischen Gleichung als imaginäre Zahlen an! a) x 2 + 1 = 0 b) x 2 + 4 = 0 c) 9x 2 + 16 = 0 d) 7x 2 + 3 = 0 e) x 2 + u = 0 (mit u * R + ) 10.24 Ermittle alle komplexen Lösungen der quadratischen Gleichung und mache die Probe! a) x 2 + 4x + 5 = 0 d) x 2 – 8x + 32 = 0 g) 2x 2 + 10x + 13 = 0 b) x 2 + 4x + 7 = 0 e) x 2 – 3x + 14,5 = 0 h) 9x 2 + 36x + 37 = 0 c) x 2 – 6x + 13 = 0 f) x 2 – 10x + 25,25 = 0 i) 100x 2 – 300x + 229 = 0 Aufgaben Vertiefung 10.25 Zerlege den quadratischen Term in Linearfaktoren! a) x 2 – 2x + 2 b) x 2 – 8x + 25 c)  x 2 + 14x + 53 d) x 2 – 14x + 65 e)  x 2 + 6x + 18 10.26 Es sei x 1 eine Lösung der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0. Gib die zweite Lösung x 2 an und stelle eine quadratische Gleichung mit diesen Lösungen auf! a) x 1 = 1 – 2i b) x 1 = 2 – 3i c)  x 1 = 8 + 2i d) x 1 = 1 + i e)  x 1 = c – di 10.27 Ermittle alle komplexen Lösungen der Gleichung und mache die Probe! a) x 3 + 4x = 0 c) x 3 + 6x 2 + 34x = 0 e) x 5 + 4x 4 + 29x 3 = 0 b) x 3 – 12x 2 + 37x = 0 d) x 4 – 2x 3 + 10x 2 = 0 f) x 8 + x 6 = 0 10.28 Zeige: (1 + i) 3 = – 2 + 2i und (–1 + i) 3 = 2 + 2i 10.29 Ermittle mit der Cardano’schen Formel eine Lösung der Gleichung x 3 – 15x + 4 = 0! Hinweis: Zeige (2 + i) 3 = 2 + 11i und (– 2 + i) 3 = – 2 + 11i! 10.30 Zeige, dass die Gleichung (mit a, b * R + ) keine reelle Lösung besitzt! a) (x – a) 2 + a 2 = 0 c) ​  1 _  4 ​= ​  ax – 1 __  x 2 + 4a 2 ​ e) x 2 + b 2 = 2a(b – a – x) (a ≠ b) b) 2(a – x 2 ) = 2a + 5 + 6x d) ​  1 _ 2 ​· ​ 2 9a + ​  x 2 _  a ​  3 ​= 3x – 2a f) x 2 + 1 = ​  1 _ a ​· ​ 2 2x – ​  1 _  a ​ 3 ​ 10.31 Zeige, dass die Gleichung x 2 = – a (mit a * R + ) nur die Lösungen ​ 9 _ a​· i und – ​ 9 _ a​· i hat! Lösung: x 2 = – a  É  x 2 – (– a) = 0  É  x 2 – (​ 9 _ a​· i) 2 = 0  É  (x – ​ 9 _ a​· i) · (x + ​ 9 _ a​· i) = 0  É É  x – ​ 9 _ a​· i = 0  =  x + ​ 9 _ a​· i = 0  É  x = ​ 9 _ a​· i  =  x = – ​ 9 _ a​· i Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv