Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

235 10.3 Gleichungslösen mit komplexen Zahlen Wenn man also komplexe Lösungen zulässt, ist jede quadratische Gleichung lösbar. Es gilt: Satz Eine quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 mit p, q * R und der Diskriminante D = ​ 2  ​  p _ 2 ​  3 ​ 2 ​– q hat „„ zwei reelle Zahlen als Lösungen, wenn D > 0 , „„ genau eine reelle Zahl als Lösung, wenn D = 0 , „„ zwei konjugiert komplexe Zahlen als Lösungen, wenn D < 0 . In allen drei Fällen gilt: ​x​ 2 ​+ px + q = 0 É  x = – ​  p _ 2 ​± ​ 9 ____ ​ 2  ​  p _ 2 ​  3 ​ 2 ​– q​ Lösen kubischer Gleichungen Der italienische Mathematiker Scipione del Ferro (1465–1526) entdeckte als Erster eine Möglichkeit zur Lösung kubischer Gleichungen. Fast zeitgleich entwickelte Nicolo Tartaglia (ca. 1500 –1557) ebenso eine Lösungsformel. Diese teilte er Cardano mit, der sie dann zum Leidwesen Tartaglias unter seinem eigenen Namen veröffentlichte. Satz Formel von Cardano: Eine Lösung der kubischen Gleichung x 3 + px + q = 0 lautet: x = ​ 3 9 ________ ​ 9 __ ​ (  ​  p _ 3 ​  ) ​ 3 ​+ ​ (  ​  q _ 2 ​  ) ​ 2 ​ ​– ​  q _ 2 ​ ​– ​ 3 9 ________ ​ 9 __ ___ ​ (  ​  p _ 3 ​  ) ​ 3 ​+ ​ (  ​  q _ 2 ​  ) ​ 2 ​ ​+ ​  q _ 2 ​​ Beispiel: x 3 – 6x + 4 = 0 Nach der Cardano’schen Lösungsformel lautet eine Lösung dieser Gleichung: x = ​ 3 9 ______ ​ 9 __ – 8 + 4​– 2​– ​ 3 9 ______ ​ 9 __ – 8 + 4​+ 2​= ​ 3 9 ____ ​ 9 _ – 4​– 2​– ​ 3 9 ____ ​ 9 _ – 4​+ 2​= ​ 3 9 ____ – 2 + 2i​– ​ 3 9 ___ 2 + 2i​ Wegen (1 + i) 3 = – 2 + 2i und (–1 + i) 3 = 2 + 2i (Nachweis in Aufgabe 10.28) ergibt sich eine Lösung in der Form: x = (1 + i) – (–1 + i) = 2 Probe: 2 3 – 6 · 2 + 4 = 0 Wir erkennen: Während im Verlauf der Rechnung die „zweifelhaften“ komplexen Zahlen auftreten, ergibt sich am Schluss eine gewöhnliche reelle Zahl, die laut Probe tatsächlich eine Lösung der Gleichung ist. Für Cardano reichte dies zwar nicht aus, die komplexen Zahlen anzuerkennen, doch wurde vielen Mathematikern der damaligen Zeit bewusst, dass die komplexen Zahlen zumindest ein nützliches Instrument zum Lösen mancher Gleichungen sind. Lösen algebraischer Gleichungen vom Grad n Eine algebraische Gleichung vom Grad n hat die Form: a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 (mit a n  , a n – 1  , … a 0 * R und a n ≠ 0) Wir wissen schon, dass eine solche Gleichung höchstens n reelle Lösungen haben kann (siehe Seite 9). Aber hat sie immer mindestens eine reelle Lösung? Die Antwort lautet: Nein! So hat zB die Gleichung x 2 + 1 = 0 keine reelle Lösung. Diese Gleichung hat jedoch zwei komplexe Lösungen, nämlich x = i und x = – i. Allgemein gilt: Satz Fundamentalsatz der Algebra: Jede algebraische Gleichung vom Grad n hat mindestens eine komplexe Lösung. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv