Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

234 0 a φ 10.3 Gleichungslösen mit komplexen Zahlen Quadratwurzeln aus negativen Zahlen 10.22 1) Zeige: Die Gleichung x 2 = – a (mit a * R + ) hat die Lösungen x = 9 _ a· i und x = – 9 _ a· i. 2) Wie lauten die Lösungen der Gleichung x 2 = –1? Lösung: 1) x = ± 9 _ a· i w x 2 = a · i 2 = a · (–1) = – a. (Dass es keine weiteren Lösungen der Gleichung gibt, wird in Aufgabe 10.31 bewiesen.) 2) x = i und x = – i Es liegt nahe, die beiden Lösungen der Gleichung x 2 = – a (mit a * R + ) als Wurzeln aus – a zu bezeichnen. Um aber das Wurzelsymbol eindeutig zu machen, vereinbaren wir, nur die Lösung 9 _ a· i als Wurzel aus – a zu bezeichnen. Definition Für a * R + setzen wir: 9 __ –a= 9 _ a· i . Daraus folgt insbesondere: 9 __ –1= 9 _ 1 ·i, also 9 __ –1 = i Lösen quadratischer Gleichungen Eine quadratische Gleichung der Form x 2 + px + q = 0 oder ax 2 + bx + c = 0 konnten wir bisher nur lösen, wenn die Diskriminante nicht negativ war. Akzeptiert man jedoch komplexe Zahlen als Lösungen einer quadratischen Gleichung, so ist diese Voraussetzung hinfällig. Wir untersuchen dazu nochmals die möglichen Lösungsfälle einer quadratischen Gleichung der Form x 2 + px + q = 0 . Wir bringen die Gleichung zuerst auf die Form: x 2 + px + 2    p _ 2   3 2 = 2    p _ 2   3 2 – q Setzen wir 2    p _ 2   3 2 – q = D (Diskriminante), dann lautet die Gleichung: 2  x +   p _  2 3 2 = D Wir unterscheiden nun drei Fälle: 1. Fall: D > 0 x +   p _ 2 = 9 _ D = x +   p _ 2 = – 9 _ D x = –   p _ 2 + 9 _ D = x = –   p _  2 – 9 _ D Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen. 2. Fall: D = 0 x +   p _ 2 = 0, also x = –   p _ 2 Die Gleichung hat genau eine reelle Lösung. 3. Fall: D < 0 x +   p _  2 = 9 _ D = x +   p _ 2 = – 9 _ D x +   p _ 2 = 9 __ –D· i = x +   p _ 2 = – 9 __ –D· i x = –   p _ 2 + 9 __ –D· i = x = –   p _  2 – 9 __ –D· i Die Gleichung hat zwei konjugiert komplexe Lösungen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv