Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

232 0 a φ 10.2 Rechnen mit komplexen Zahlen Ein erster Schritt zur Anerkennung der komplexen Zahlen in der Geschichte der Mathematik war die Erfahrung, dass man mit diesen Zahlen ähnlich wie mit den reellen Zahlen rechnen kann, wenngleich die Existenz der komplexen Zahlen nach wie vor zweifelhaft blieb. In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns damit, wie man mit komplexen Zahlen rechnet. Verwendet man die üblichen Rechenregeln, dann kann man mit komplexen Zahlen die vier Grundrechenarten ausführen: � Addieren und Subtrahieren: Man addiert bzw. subtrahiert die Realteile und die Imaginärteile der beiden komplexen Zahlen. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i � Multiplizieren: (a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + adi + bci + bd · (–1) = (ac – bd) + (ad + bc)i Speziell gilt: (a + bi) · (a – bi) = a 2 – b 2 · i 2 = a 2 – b 2 · (–1) = a 2 + b 2 Man bezeichnet a + bi und a – bi als zueinander konjugiert komplexe Zahlen . � Dividieren: Man erweitert mit der zum Nenner konjugiert komplexen Zahl.   a + bi _  c + di =   (a + bi)(c – di) __  (c + di)(c – di) =   ac + bci – adi – bdi 2 ___  c 2 + d 2 =   ac + bci – adi + bd ___  c 2 + d 2 =   ac + bd __  c 2 + d 2 +   bc – ad __  c 2 + d 2 · i Dabei muss c + di ≠ 0 vorausgesetzt werden (das ist genau dann der Fall, wenn c ≠ 0 = d ≠ 0 bzw. c 2 + d 2 ≠ 0). Merke a + bi und a – bi nennt man zueinander konjugiert komplexe Zahlen . 10.05 Berechne Summe, Differenz, Produkt und Quotient der komplexen Zahlen 3 + 2i und 5 – 4i! Lösung: (3 + 2i) + (5 – 4i) = (3 + 5) + (2 – 4)i = 8 – 2i (3 + 2i) – (5 – 4i) = (3 – 5) + (2 + 4)i = – 2 + 6i (3 + 2i) · (5 – 4i) = 15 + 10i – 12i – 8i 2 = 15 + 10i – 12i – 8 · (–1) = (15 + 8) + (10 – 12)i = 23 – 2i   3 + 2i _  5 – 4i =   (3 + 2i)(5 + 4i) __  (5 – 4i)(5 + 4i) =   15 + 10i + 12i + 8i 2 ___  25 – 16i 2 =   (15 – 8) + (10 + 12)i ___  25 – 16 · (–1)  =   7 + 22i _  41  =   7 _  41  +   22 _ 41 i Aus den bisherigen Ausführungen erkennen wir: Die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient zweier komplexer Zahlen ist jeweils wieder eine komplexe Zahl. Das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen ist sogar eine reelle Zahl. Aufgaben 10.06 Berechne: a) (3 + 2i) + (2 + 6i) d) (– 4 + 5i) + (2 – 7i) g) (– 6 + i) + (– 2 – 6i) j) (3 – 2i) – (3 – 2i) b) (8 – 2i) + (2 + 5i) e) (7 + 8i) + (2 – 3i) h) (– 3 – 2i) + (3 + 3i) k) (–6 – 2i) – (–2 – 6i) c) (9 + 8i) – (6 + 5i) f) (3 + 2i) – (3 – 2i) i) (3 + 2i) – (– 3 + 2i) l) (3 + 2i) – (3 + 2i) Ó Nur zu Prüfzwecken – E gentum des Verlags öbv