Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

231 10.1 Gibt es Wurzeln aus negativen Zahlen? Gibt es vielleicht doch Zahlen, deren Quadrate negativ sind? Nehmen wir einmal an, dass es eine „Zahl“ gibt, deren Quadrat gleich –1 ist. Wenn wir diese Zahl mit i bezeichnen, gilt: i 2 = –1 Falls es diese „Zahl“ i tatsächlich gibt, kann man weitere „Zahlen“ bilden, deren Quadrate negativ sind (zumindest dann, wenn man voraussetzt, dass man nach den üblichen Rechenre- geln rechnen darf). Beispiele: (3 · i) 2 = 3 2  · i 2 = 9 · (–1) = – 9 (​ 9 _ 2​· i) 2 = (​ 9 _ 2​) 2  · i 2 = 2 · (–1) = – 2 (b· i) 2 = b 2  · i 2 = b 2  · (–1) = –b 2  (b * R *) Allgemein kann man „Zahlen“ der Form a + b·i (mit a, b * R ) bilden. Dabei sind heute folgende Bezeichnungen üblich: „„ Die Zahl i nennt man imaginäre Einheit . „„ Die Zahlen der Form b · i (mit b * R ) nennt man imaginäre Zahlen . „„ Die Zahlen der Form a + b · i (mit a, b * R ) nennt man komplexe Zahlen . Man bezeichnet a als Realteil und b als Imaginärteil der komplexen Zahl a + b·i. „„ Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Jede imaginäre Zahl b· i lässt sich auch als komplexe Zahl anschreiben: b·i = 0 + b·i Ebenso lässt sich jede reelle Zahl a als komplexe Zahl anschreiben: a = a + 0·i Falls es die Menge der komplexen Zahlen überhaupt gibt, umfasst sie also die Menge der imaginären Zahlen und die Menge der reellen Zahlen. Wir halten insbesondere fest: R ² C Cardano war nicht bereit, die Existenz komplexer Zahlen anzuerkennen. Auch spätere Mathe­ matiker hatten damit ihre Probleme. Die Anerkennung der komplexen Zahlen als Zahlen war historisch ein langer Weg, der bis ins 20. Jahrhundert hinein reichte und in mehreren Etappen verlief. Diese wollen wir in den folgenden Abschnitten nachvollziehen. Aufgaben Grundkompetenzen 10.02 Die Zahl 16 ist so in zwei Summanden zu zerlegen, dass deren Produkt  1) 39,  2) 70 ist. Gehe analog zur Aufgabe 10.01 vor und führe die Probe durch! 10.03 Berechne: a) – i 2 c) – i 3 e) – i 4 g) – i 5 i) (3i) 2 b) (– i) 2 d) (– i) 3 f) (– i) 4 h) (– i) 5 j) (– 5i) 2 10.04 1) Berechne i 0 , i 1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i 7 , i 8 , i 9 , i 10 , i 11 , i 12 , i 13 ! 2) Welche Werte kann i n (mit n * N ) annehmen? Lässt sich ein Zusammenhang zwischen n und i n erkennen? 3) Berechne i 40 , i 81 , i 122 , i 163 mit Hilfe des in 2) erkannten Zusammenhangs! Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv