Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

230 0 a φ r 10 Komplexe Zahlen Grundkompetenzen � Die komplexen Zahlen in der Form a + b· i kennen, sie in der Gauß’schen Zahlenebene darstellen können und mit ihnen einfache Rechnungen durchführen können. Die komplexen Zahlen in Form der Polardarstellung r · (cos φ + i · sin φ ) kennen und mit ihnen rechnen können. Die komplexen Lösungen algebraischer Gleichungen (mit den Lösungsverfahren aus Kapitel 1) ermitteln können und wissen, dass jede algebraische Gleichung in der Menge C lösbar ist. Anhand der komplexen Zahlen Reflexionen zur Frage der Existenz mathematischer Objekte anstellen können. 10.1 Gibt es Wurzeln aus negativen Zahlen? Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl kann keine reelle Zahl sein, weil das Quadrat jeder reellen Zahl nicht negativ ist. Der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano (1501 –1576) stellte jedoch die folgende Aufgabe, in der Wurzeln aus negativen Zahlen auftreten: 10.01 Die Zahl 10 ist so in zwei Summanden zu zerlegen, dass deren Produkt 1) 24, 2) 30 ist. Lösung: Wenn wir den einen Summanden mit x bezeichnen, ist der andere 10 – x. 1) x · (10 – x) = 24 x 2 – 10x + 24 = 0 x = 4 = x = 6 Die Summanden sind 4 und 6. Probe: 4 + 6 = 10 und 4 · 6 = 24 2) x · (10 – x) = 30 x 2 – 10x + 30 = 0 x = 5 + 9 __ – 5 = x = 5 – 9 __ – 5 Da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist, hat diese quadratische Gleichung keine Lösung. Die Zahl 10 kann also nicht in zwei Summanden zerlegt werden, deren Produkt 30 ist. Cardano akzeptierte die Ausdrücke 5 + 9 __ – 5und 5 – 9 __ – 5nicht als Lösungen der Aufgabe, weil er sich nicht vorstellen konnte, dass es Zahlen gibt, deren Quadrate negativ sind. Er stellte jedoch etwas Merkwürdiges fest: Obwohl diese Ausdrücke keine „wirklichen“ Zahlen sind, verhalten sie sich wie Zahlen, was die Probe zeigt: (5 + 9 __ – 5) + (5 – 9 __ – 5) = 10 (5 + 9 __ – 5) · (5 – 9 __ – 5) = 25 – ( 9 __ – 5) 2 = 25 – (– 5) = 30 Gerolamo CARDANO (1501 –1576) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv