Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

226 9 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zufallsvariablen, für die man Wahrscheinlichkeiten mit der Formel des letzten Satzes berechnen kann, erhalten einen eigenen Namen: Definition Hypergeometrische Verteilung: Sei X eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten 0, 1, 2, …, N. Wird jedem Wert k die Wahrscheinlichkeit P(X = k) = ​  ​ 2  ​ M  k  ​  3 ​· ​ 2  ​ N – M  n – k  ​ 3 ​ __ ​ 2  ​ N  n ​  3 ​ ​ (mit 1 ª M ª N, 1 ª n ª N, 0 ª k ª n, n – k ª N – M) zugeordnet, dann bezeichnet man die dadurch festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung als hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N , M und n . Die Zufallsvariable X nennt man hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N , M und n . Beachte: „„ Entspricht eine Versuchsserie einem mehrmaligen Ziehen mit Zurücklegen, so ist die untersuchte Häufigkeit H genau binomialverteilt und es gilt: P(H = k) = ​ 2  ​ n  k ​  3 ​· p k  · (1 – p) n – k „„ Entspricht eine Versuchsserie einem mehrmaligen Ziehen ohne Zurücklegen und ist die Stichprobe klein im Vergleich zur Grundgesamtheit, so ist die untersuchte Häufigkeit H annähernd binomialverteilt und es gilt: P(H = k) ≈ ​ 2  ​ n  k ​  3 ​· p k  · (1 – p) n – k „„ Entspricht eine Versuchsserie einem mehrmaligen Ziehen ohne Zurücklegen und ist die Stichprobe nicht klein im Vergleich zur Grundgesamtheit (wie beispielsweise beim Lotto „6 aus 45“), so ist H hypergeometrisch verteilt und es gilt: P(H = k) = ​  ​ 2  ​ M  k  ​  3 ​· ​ 2  ​ N – M  n – k  ​  3 ​ __ ​ 2  ​ N  n ​  3 ​ ​ Aufgaben Vertiefung 9.162 (Fortsetzung von Aufgabe 9.160) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Julia a) genau fünf Richtige,  b) genau drei Richtige,  c) genau zwei Richtige,  d) genau eine Richtige, e) keine Richtige,  f) mindestens drei Richtige hat? 9.163 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ergebnis beim Lotto „6 aus 45“? a) 3 Richtige mit Zusatzzahl d) 4 Richtige ohne Zusatzzahl b) 3 Richtige ohne Zusatzzahl e) 5 Richtige mit Zusatzzahl c) 4 Richtige mit Zusatzzahl f) 5 Richtige ohne Zusatzzahl Hinweis: „3 Richtige mit Zusatzzahl“ hätte man, wenn genau drei der sechs Gewinnzahlen richtig sind und wenn außerdem die Zusatzzahl (die nach den sechs Gewinnzahlen als siebente Zahl gezogen wird) mit einer der drei übrigen angekreuzten Zahlen übereinstimmt. 9.164 Enthält ein Tipp beim Lotto „6 aus 45“ keine einzige der sechs Gewinnzahlen, wurde jedoch die Zusatzzahl richtig angekreuzt, so bekommt man den Tippeinsatz rückerstattet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Fall? 9.165 Aus der abgebildeten Urne werden vier Kugeln blind gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses? a) Man erhält vier blaue Kugeln. b) Man erhält zwei blaue und zwei weiße Kugeln. c) Man erhält mindestens zwei weiße Kugeln. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv