Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

225 9.7 Kombinatorische Abzählformeln und hypergeometrische Verteilung 1. Lösungsmöglichkeit: Wir denken uns wiederum die 6 getippten Zahlen nebeneinander aufgeschrieben. Unter jede richtig getippte Zahl schreiben wir ein r und unter jede falsch getippte Zahl ein f. Jeder Tipp entspricht damit einem Wort der Länge 6, das aus den Buchstaben r und f gebildet wird. 4 Richtige hat Julia genau dann, wenn das Wort genau 4-mal r (und damit genau 2-mal f) enthält. Jedes solche Wort ergibt sich mit der gleichen Wahrscheinlichkeit, nämlich   6 _  45 ·   5 _  44 ·   4 _  43 ·   3 _  42 ·   39 _ 41 ·   38 _ 40 . Da es 2   6  4   3 = 15 solche Wörter gibt, erhält man: P(4 Richtige) = 15 ·   6 _  45 ·   5 _  44 ·   4 _  43  ·   3 _  42  ·   39 _ 41  ·   38 _ 40 ≈ 0,00136 2. Lösungsmöglichkeit: Insgesamt gibt es 2   45  6   3 = 8145060 mögliche Sechsertipps. In einem Sechsertipp mit vier Richtigen können vier Richtige auf 2  6    4 3 = 15 Arten und die zwei Nicht-Richtigen auf 2   45 – 6  2   3 = 2   39  2   3 = 741 Arten auftreten. Da jede der 15 Arten mit jeder der 741 Arten kombiniert werden kann, gibt es 15 · 741 = 11115 Sechsertipps mit vier Richtigen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt daher:   11115 __  8145060  ≈ 0,00136 9.161 Wir betrachten allgemein das Lotto „M aus N“, dh. aus den insgesamt zur Verfügung stehenden N Zahlen werden M Gewinnzahlen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man in einem aus n Zahlen bestehenden Tipp genau k Richtige hat? Lösung: Es sei H die absolute Häufigkeit der Richtigen in einem Tipp. Das Ereignis H = k tritt genau dann ein, wenn im abgegebenen Tipp aus n Zahlen von den insgesamt M gezogenen Zahlen genau k vorkommen und von den N – M nicht gezogenen Zahlen genau n – k vorkommen. Wir bestimmen P(H = k) wie bei der 2. Lösungsmöglichkeit der vorangegangenen Aufgabe. Insgesamt gibt es 2   N  n   3 mögliche Tipps. In einem Tipp mit k Richtigen können die k Richtigen auf 2   M  k    3 Arten und die n – k Nicht-Richtigen auf 2   N – M  n – k   3 Arten auftreten. Da jede der 2   M  k    3 Arten mit jeder der 2   N – M  n – k   3 Arten kombiniert werden kann, hat man bei 2   M  k    3 · 2   N – M  n – k    3 Arten genau k Richtige. Damit ergibt sich: P(H = k) =   2   M  k    3 · 2   N – M  n – k   3 __ 2   N  n   3 Analog zur letzten Aufgabe kann man allgemein beweisen: Satz In einer Menge von N Objekten haben M eine Eigenschaft E (zB Gewinnzahl zu sein), die restlichen N – M Objekte aber nicht. Aus dieser Menge werden n Objekte zufällig ohne Zurücklegen gezogen. Ist H die absolute Häufigkeit der gezogenen Objekte, die die Eigenschaft E besitzen, dann gilt: P(H = k) =   2   M  k    3 · 2   N – M  n – k    3 __ 2   N  n   3 (mit 1 ª M ª N, 1 ª n ª N, 0 ª k ª n, n – k ª N – M) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv