Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

222 9 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Anordnungen Anordnungen von n Objekten kann man als Spezialfälle von geordneten Auswahlen ansehen, wenn man nämlich von n Objekten alle auswählt und dabei die Reihenfolge berücksichtigt. 9.142 Anordnung ohne Wiederholung: Auf wie viele Arten kann man a) 5 Objekte, b) n Objekte anordnen, wenn kein Objekt mehrfach vorkommen darf? Lösung: Wir wissen schon (siehe Seite 202): a) auf 5! = 120 Arten b) auf n! Arten 9.143 Anordnung mit Wiederholung: a) Wie viele fünfstellige Zahlen kann man mit 2 Einsern und 3 Zweiern bilden? b) Wie viele n-stellige Zahlen kann man mit n 1 Ziffern 1, n 2 Ziffern 2, …, n k Ziffern k bilden, wobei n 1 + n 2 + … + n k = n ist? Lösung: a) Wären die Einser und die Zweier unterscheidbar (etwa 1 1 , 1 2 , 2 1 , 2 2 , 2 3 ), dann entspräche jede fünfstellige Zahl einer Anordnung dieser fünf Zahlen. Insgesamt gibt es 5! solche Anordnungen. Da aber die Einser und Zweier nicht unterschieden werden, ergeben die 2! Anordnungen der Zahlen 1 1 und 1 2 und die 3! Anordnungen der Zahlen 2 1 , 2 2 , 2 3 untereinander jeweils die gleiche fünfstellige Zahl. Somit gibt es insgesamt nur   5! _  2! · 3! = 10 fünfstellige Zahlen mit 2 Einsern und 3 Zweiern. b) Überlege selbst: Es gibt   n! ___  n 1 ! · n 2 ! ·…· n k ! solche Zahlen. Anordnungen von Objekten bezeichnet man in der Kombinatorik auch als Permutationen , geordnete Auswahlen als Variationen und ungeordnete Auswahlen als Kombinationen . Wir fassen die in den Aufgaben 9.138 bis 9.143 hergeleiteten Formeln zusammen: Anzahlen von Anordnungen und Auswahlen: ohne Wiederholung mit Wiederholung Anordnungen (Permutationen) von n Objekten n!   n! ___   n 1 ! · n 2 ! ·…· n k ! für n 1 , n 2 , …, n k nicht unterscheidbare Objekte geordnete Auswahlen von k aus n Objekten (Variationen) n · (n – 1) · (n – 2) ·…· (n – k + 1) n k ungeordnete Auswahlen von k aus n Objekten (Kombinationen) 2   n  k   3 2   n + k – 1  k    3 Bemerkung: Die Formeln für Variationen und Kombinationen mit Wiederholung gelten auch für k > n, weil diese Auswahlarten einem Ziehen mit Zurücklegen entsprechen. Enthält eine Urne beispielsweise n Kugeln, können ihr im Fall des Zurücklegens auch mehr als n Kugeln entnommen werden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv