Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

220 Augensumme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 9.7 Kombinatorische Abzählformeln und hypergeometrische Verteilung Die Kombinatorik ist eine mathematische Disziplin, die sich vorwiegend mit Abzählproblemen beschäftigt. Man hat die Kombinatorik scherzhaft auch als „Kunst des Zählens ohne zu zählen“ bezeichnet, weil sie ua. Formeln zur Verfügung stellt, mit denen man langwierige Abzählvorgänge schneller erledigen kann. Wir leiten im Folgenden Abzählformeln für Auswahlen von k Objekten aus n vorgegebenen Objekten her. Man bezeichnet eine Auswahl als „„ ungeordnete Auswahl (bzw. ungeordnete Stichprobe), wenn es auf die Reihenfolge der ausgewählten Objekte nicht ankommt. „„ geordnete Auswahl (bzw. geordnete Stichprobe), wenn es auf die Reihenfolge der ausgewählten Objekte ankommt. Darüber hinaus bezeichnet man eine Auswahl als „„ Auswahl mit Wiederholung , wenn die ausgewählten Objekte mehrfach vorkommen dürfen. Dies entspricht einem Ziehen mit Zurücklegen . „„ Auswahl ohne Wiederholung , wenn keines der ausgewählten Objekte mehrfach vorkommen darf. Dies entspricht einem Ziehen ohne Zurücklegen . Ungeordnete Auswahlen 9.138 Ungeordnete Auswahl ohne Wiederholung: Auf wie viele Arten kann man ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus der Menge M = {1, 2, 3, …, n} k Zahlen auswählen, wenn keine Wiederholungen zugelassen sind? Lösung: Wir wissen schon (siehe Seite 203): Jede ungeordnete Auswahl von k Elementen aus der Menge M entspricht einer k-elementigen Teilmenge von M. Es gibt somit ​ 2  ​ n  k ​  3 ​mögliche Auswahlen. 9.139 Ungeordnete Auswahl mit Wiederholung: Auf wie viele Arten kann man ohne Berücksichtigung der Reihenfolge  a) aus der Menge M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sieben Zahlen,  b) aus der Menge M = {1, 2, 3, …, n} k Zahlen auswählen, wenn Wiederholungen zugelassen sind? Lösung: a) Wir stellen jede Auswahl von 7 Zahlen durch ein 7-Tupel dar, dessen Elemente wir der Übersichtlichkeit halber der Größe nach ordnen, zB (1, 1, 1, 2, 4, 4, 9). Wir reservieren nun für die Zahlen 1, 2, …, 9 neun Bereiche, die wir durch Trennstriche abgrenzen. In jeden Bereich schreiben wir so oft einen Stern ( * ), wie die entsprechende Zahl im betrachteten 7-Tupel vorkommt. In unserem Beispiel erhalten wir die Stern-Strich-Folge: * * * I * I I * * I I I I I *  Diese stellt das 7-Tupel (1, 1, 1, 2, 4, 4, 9) nur auf eine andere Art dar. Es muss daher gleich viele solcher Stern-Strich-Folgen wie mögliche 7-Tupel geben. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv