Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

216 9 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Aufgaben Vertiefung 9.121 Zeige: Für p = 0,5 gilt P(H = k) = P(H = n – k), dh. eine Binomialverteilung mit p = 0,5 ist symmetrisch. 9.122 In ein Galton-Brett, das aus acht Schichten besteht, werden 500 Kugeln geschüttet. Wie viele Kugeln werden ungefähr in den einzelnen Fächern landen? Stelle die Ergebnisse durch eine Tabelle dar! 9.123 Die „Symmetrie“ der Tabellen auf den Seiten 265 und 266 beruht auf der folgenden Eigenschaft einer Binomialverteilung: Die Wahrscheinlichkeit P(H = k) ändert sich nicht, wenn man p durch 1 – p und k durch n – k ersetzt. Zeige dies! Lösung: Ist H binomialverteilt mit den Parametern n und p, dann gilt: P(H = k) = 2  n    k 3 · p k · (1 – p) n – k n und 1 – p, dann gilt: P(H = n – k) = 2   n  n – k   3 · (1 – p) n – k · p n – (n –k) Wegen 2   n  k   3 = 2   n  n – k   3 und n – (n – k) = k sind diese beiden Wahrscheinlichkeiten gleich. Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen 9.124 Es sei H eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p. Berechne den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 von H für 1) n = 2, 2) n = 3! Ergibt sich eine allgemeine Vermutung? Lösung: 1) Die Zufallsvariable H kann die Werte 0, 1, 2 annehmen. Wir berechnen zuerst: p 0 = P(H = 0) = 2  2    0 3 · p 0 · (1 – p) 2 = (1 – p) 2 p 1 = P(H = 1) = 2  2    1 3 · p 1 · (1 – p) 1 = 2p(1 – p) p 2 = P(H = 2) = 2  2    2 3 · p 2 · (1 – p) 0 = p 2 Damit ergibt sich: μ = 0 · p 0 + 1 · p 1 + 2 · p 2 = 2p(1 – p) + 2p 2 = 2p σ 2 = [0 2 · p 0 + 1 2 · p 1 + 2 2 · p 2 ] – μ 2 = [2p(1 – p) + 4p 2 ] – 4p 2 = 2p(1 – p) 2) Die Zufallsvariable H kann die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. Zeige selbst: p 0 = P(H = 0) = (1 – p) 3 , p 1 = P(H = 1) = 3p(1 – p) 2 , p 2 = P(H = 2) = 3p 2 (1 – p), p 3 = P(H = 3) = p 3 Damit erhält man: μ = 0 · p 0 + 1 · p 1 + 2 · p 2 + 3 · p 3 = 3p(1 – p) 2 + 6p 2 (1 – p) + 3p 3 = 3p σ 2 = [0 2 · p 0 + 1 2 · p 1 + 2 2 · p 2 + 3 2 · p 3 ] – μ 2 = [3p(1 – p) 2 + 12p 2 (1 – p) + 9p 3 ] – 9p 2 = 3p(1 – p) Es ergibt sich die Vermutung: μ = n · p und σ 2 = n·p·(1 – p) Die in der letzten Aufgabe ausgesprochene Vermutung lässt sich beweisen: Satz Ist H eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p, dann gilt für den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 von H: μ = E(H) = n · p, σ 2 = V(H) = n · p · (1 – p) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv