Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

212 9 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten der Form P(H ª k) bzw. P(H º k) 9.99 Ein Würfel wird fünfmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl 6 1) höchstens zweimal, 2) mindestens viermal, 3) mindestens zweimal kommt? Lösung: Die absolute Häufigkeit H der Augenzahl 6 bei fünf Würfen ist binomialverteilt mit den Parametern n = 5 und p =   1 _ 6 . Damit ergibt sich: 1) P(H ª 2) = P(H = 0 = H = 1 = H = 2) Da die Ereignisse H = 0, H = 1 und H = 2 einander paarweise ausschließen, folgt: P(H ª 2) = P(H = 0) + P(H = 1) + P(H = 2) = = 2  5    0 3 · 2    1 _ 6   3 0 · 2    5 _ 6   3 5 + 2  5    1 3 · 2    1 _ 6   3 1 · 2    5 _ 6   3 4 + 2  5    2 3 · 2    1 _ 6   3 2 · 2    5 _ 6   3 3 ≈ ≈ 0,4019 + 0,4019 + 0,1608 ≈ 0,96 2) P(H º 4) = P(H = 4 = H = 5) = P(H = 4) + P(H = 5) = = 2  5    4 3 · 2    1 _ 6   3 4 · 2    5 _ 6   3 1 + 2  5    5 3 · 2    1 _ 6   3 5 · 2    5 _ 6   3 0 ≈ 0,0032 + 0,0001 ≈ 0,003 3) � Man müsste berechnen: P(H º 2) = P(H = 2) + P(H = 3) + P(H = 4) + P(H = 5) Um aber die Rechnung abzukürzen, ermittelt man zweckmäßigerweise zuerst die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zum Ereignis H º 2: P(H < 2) = P(H = 0 = H = 1) = P(H = 0) + P(H = 1) = = 2  5    0 3 · 2    1 _ 6   3 0 · 2    5 _ 6   3 5 + 2  5    1 3 · 2    1 _ 6   3 1 · 2    5 _ 6   3 4 ≈ 0,80 Daraus ergibt sich: P(H º 2) = 1 – P(H < 2) ≈ 1 – 0,80 = 0,20 Beachte: Falls n = 10 oder n = 20 ist, kann man auch die Tabellen auf den Seiten 264 bis 266 benutzen, aus denen man die Wahrscheinlichkeiten P(H ª k) bzw. P(H º k) für verschiedene Werte von p direkt ablesen kann. Aufgaben Grundkompetenzen 9.100 Eine Münze wird 20-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass „Zahl“ a) genau 10-mal, b) öfter als 16-mal, c) höchstens 3-mal, d) mindestens 4-mal, aber höchstens 6-mal kommt? 9.101 Zu Schuljahresbeginn macht Anja einen Wortschatz-Kurztest für Italienisch. Sie schätzt, dass sie 70% aller Vokabel aus den vorhergehenden Lernjahren beherrscht. Wie groß ist die Wahrschein- lichkeit, dass Anja von den 10 präsentierten Testvokabeln mindestens 8 kennt? 9.102 Bei einer Prüfung sind 10 Fragen mit „ja“ oder „nein“ zu beantworten. Ein Schüler beantwortet die Fragen blind, dh. er wählt die Antwort „ja“ bzw. „nein“ jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von 10 gestellten Fragen a) mindestens 5, b) mindestens 7, c) alle 10 richtig beantwortet? 9.103 Der Online-Versand BücherDirekt weiß durch Auswertung des Online-Verhaltens seiner Kunden, dass ca. 60% der Besucher der BücherDirekt -Homepage auch eine Ware bestellen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Besuchern der BücherDirekt -Homepage a) höchstens 4, b) mindestens 8 eine Ware bestellen? Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv