Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

211 9.5 Die Binomialverteilung Näherungsweise binomialverteilte Zufallsvariablen 9.94 In einem Behälter sind 500 Kugeln, von denen 25 weiß sind. Es werden 10 Kugeln blind gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man zwei weiße Kugeln, wenn a) mit Zurücklegen, b) ohne Zurücklegen gezogen wird? Lösung: Es sei H die absolute Häufigkeit der weißen Kugeln unter den 10 gezogenen Kugeln. a) Da nach jedem Zug zurückgelegt wird, wird der Versuch (Ziehen einer Kugel) stets unter gleichen Bedingungen durchgeführt. Somit ist H binomialverteilt mit n = 10 und p =   25 _  500  = 0,05. Wir erhalten: P(H = 2) = 2  10 2   3 · 0,05 2 · 0,95 8 = 45 · 0,05 2 · 0,95 8 ≈ 0,075 b) Da nach den einzelnen Zügen nicht zurückgelegt wird, wird der Versuch (Ziehen einer Kugel) nicht jedes Mal unter genau den gleichen Bedingungen durchgeführt. Die Zufallsvariable H ist also nicht exakt binomialverteilt. Da aber die Stichprobe (Menge der gezogenen Kugeln) klein im Vergleich zur Grundgesamtheit (Menge aller Kugeln) ist, spielt es keine große Rolle, dass vor einem Zug schon einige Kugeln entnommen worden sind. Man kann also annehmen, dass H wenigstens näherungsweise binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,05 ist. Man erhält damit: P(H = 2) ≈ 2  10 2   3 · 0,05 2 · 0,95 8 = 45 · 0,05 2 · 0,95 8 ≈ 0,075 Beachte: Entspricht die Versuchsserie einem mehrmaligen Ziehen mit Zurücklegen, ist H binomialverteilt. Entspricht die Versuchsserie einem mehrmaligen Ziehen ohne Zurücklegen, kann H als näherungsweise binomialverteilt angenommen werden, wenn die Stichprobe klein im Vergleich zur Grundgesamtheit ist. Aufgaben Grundkompetenzen 9.95 Unter den 30 Jugendlichen einer Schulklasse sind zwei Blauäugige. Es werden fünf Jugendliche aus dieser Klasse zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Jugendlichen a) kein Blauäugiger ist, b) genau ein Blauäugiger ist, c) genau zwei Blauäugige sind? 9.96 PizzaFrost erzeugt Tiefkühlpizzas in Fließbandproduktion. 5% der erzeugten Pizzas sind nicht zum Verkauf geeignet und damit Ausschuss. Zur Qualitätskontrolle werden der Erzeugung 10 fertige Pizzas entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter a) null, b) genau 2, c) genau 6, d) lauter Ausschusspizzas? 9.97 Das Medikament DermaCur wirkt erfahrungsgemäß nur bei 50% aller Patienten. Aus einer großen Menge von Patienten, die mit DermaCur behandelt werden, wählt man zufällig eine Kontroll- gruppe von 20 Patienten aus. Ist es wahrscheinlicher, dass sich in der Kontrollgruppe genau 2 Personen befinden, bei denen DermaCur wirkt, oder genau 8 Personen? 9.98 Einer Studie zufolge sollen ca. 40% der Menschen Linkshänder sein (auch wenn sie mit der rechten Hand zu schreiben gelernt haben). Mit welcher Wahrscheinlichkeit würde man demnach unter 20 zufällig ausgewählten Personen gleich viele Links- wie Rechtshänder finden? Nur zu Prüfzwecken – E gentum des Verlags öbv