Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

21 2.2 Geometrische Deutungen des Differenzen- und Differentialquotienten 2.23 Zeichne den Graphen einer Funktion im Intervall [0; 8], deren mittlere Änderungsrate in den Intervallen [0; 2], [2; 4], [4; 6], [6; 8] abwechselnd positiv und negativ ist! 2.24 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x 2 . In welchem Verhältnis steht die Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente im folgenden Intervall? a) [0; 1] b) [0; 10] c) [50; 100] d) [u; v] 2.25 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x 3 . Wie groß ist die mittlere Änderung von f pro Argument- einheit im folgenden Intervall? a) [1; 5] b) [0; 6] c) [5; 10] d) [u; v] 2.26 Ein Gefäß wird im zeitlichen Verlauf ungleichmäßig mit Wasser gefüllt. Es sei V(t) das Volumen des Wassers im Gefäß zum Zeitpunkt t (t in Sekunden, V(t) in cm 3 ). Schreibe die mittlere Volumsänderungsrate im Zeitintervall [2; 6] an und deute diese auf zwei Arten! 2.27 Ein Stein schlägt auf einer Wasseroberfläche auf und erzeugt eine sich ausdehnende kreisförmige Wellenfront. a) Es sei A(t) der Flächeninhalt dieses Kreises zum Zeitpunkt t (t in Sekunden, A(t) in m 2 ). Schreibe die mittlere Änderungsgeschwindigkeit des Flächeninhalts im Zeitintervall [5; 10] an und deute diese auf zwei Arten! b) Es sei A(r) der Flächeninhalt des Kreises beim Radius r (r in Meter, A(r) in m 2 ). Schreibe die mittlere Änderungsrate des Flächeninhalts im Radiusintervall [1; 8] an und deute diese auf zwei Arten! Aufgaben Vertiefung 2.28 a) Zeige: Ist f in [a; b] streng monoton steigend (streng monoton fallend), dann ist der Differenzenquotient von f in [a; b] positiv (negativ). b) Zeige: Ist der Differenzenquotient einer reellen Funktion f: A ¥ R in jedem Intervall [a; b] a A positiv (negativ), dann ist f streng monoton steigend (fallend) in A. Hinweis: Beachte die Definition der strengen Monotonie in Mathematik verstehen 6, Seite 40! 2.29 Der Graph der Funktion f mit f(x) = x 2 wird mit steigenden Argumenten in ​ R​ 0 ​  + ​immer steiler. 1) Überprüfe dies durch Berechnung der Differenzenquotienten in den Intervallen [0; 1], [10; 11] und [100; 101]! 2) Zeige allgemein: Sind [a; b] und [c; d] zwei Intervalle mit 0 < a < c und 0 < b < d, dann ist der Differenzenquotient von f in [a; b] kleiner als jener in [c; d]. 2.30 1) Zeige: Der Differenzenquotient ​  f(b) – f(a) __ b – a  ​ist gleich dem Faktor, mit dem die Änderung der Argumente in [a; b] multipliziert werden muss, um die Änderung der Funktionswerte in [a; b] zu erhalten. Er gibt also für das Intervall [a; b] an, wievielmal stärker die Funktionswerte als die Argumente wachsen. 2) Begründe: Der Differentialquotient f’(x) gibt näherungsweise an, wievielmal stärker die Funktionswerte als die Argumente in der Nähe von x wachsen bzw. fallen. 2.31 (Fortsetzung von 2.30) Wievielmal stärker wächst f(x) als x, wenn x von x 1 auf x 2 wächst? a) f(x) = 2x, x 1 = 1, x 2 = 4 b) f(x) = x 2 , x 1 = 0, x 2 = 10 c) f(x) = 2 x , x 1 = 0, x 2 = 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv