Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

209 9.5 Die Binomialverteilung Wir betrachten nun allgemein ein Glücksrad, bei dem ein Treffer mit der Wahrscheinlichkeit p und ein Nichttreffer daher mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p eintritt. Das Glücksrad wird n-mal gedreht. Wir denken uns dazu ein Baumdiagramm, dessen Anfang nebenstehend gezeichnet ist. „„ Jeder Ausfall der Versuchsserie (n-maliges Drehen) entspricht einem von der Spitze ausgehenden Weg, der aus n Strecken besteht. „„ Jeder Weg, der zu einem Ausfall mit genau k Treffern gehört, kann durch ein Wort beschrieben werden, das aus den Buchstaben T und N gebildet wird und in dem T genau k-mal sowie N genau (n – k)-mal vorkommt. „„ Die Wahrscheinlichkeit entlang eines solchen Weges ist p k  · (1 – p) n – k . „„ Da es insgesamt ​ 2  ​ n    k ​ 3 ​solche Wege gibt, gilt: P(H = k) = ​ 2  ​ n    k ​ 3 ​· p k  · (1 – p) n – k Da man anstelle des Ereignispaares „Treffer – Nichttreffer“ ein beliebiges Ereignispaar „E – ¬E“ betrachten kann, haben wir durch unsere Überlegungen bewiesen: Satz Bei einem Zufallsversuch trete ein Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit p ein. Der Versuch werde n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Ist H die Anzahl der Versuche, bei denen E eintritt, dann gilt: P(H = k) = ​ (  ​ n    k ​ ) ​· ​p​ k ​· (1 – p​)​ n – k ​ (für 0 ª k ª n) Mit Hilfe dieser Formel kann man für jeden Wert k der Zufallsvariablen H die Wahrscheinlichkeit P(H = k) berechnen. Dadurch ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von H festgelegt, die man beispielsweise durch eine Tabelle oder ein Stabdiagramm darstellen kann. Definition Binomialverteilung: Sei H eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten 0, 1, 2, …, n. Wird jedem Wert k die Wahrscheinlichkeit P(H = k) = ​ (  ​ n    k ​ ) ​· ​p​ k ​· (1 – p​)​ n – k ​ (mit 0 ª k ª n und 0 ª p ª 1) zugeordnet, dann bezeichnet man die dadurch festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung als Binomialverteilung mit den Parametern n und p . Die Zufallsvariable H nennt man binomialverteilt mit den Parametern n und p . Unter Benutzung dieser Definition kann der obige Satz kürzer so ausgesprochen werden: Satz Ein Zufallsversuch werde n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Tritt dabei ein Ereignis E jedes Mal mit der Wahrscheinlichkeit p ein, dann ist die absolute Häufigkeit H des Eintretens von E binomialverteilt mit den Parametern n und p. Bemerkung: Eine binomialverteilte Zufallsvariable wird oft mit X bezeichnet. Man schreibt dann beispielsweise P(X = k) anstelle von P(H = k). Wir bevorzugen die Bezeichnung H, weil eine binomialverteilte Zufallsvariable bei allen Aufgaben zur Binomialverteilung als Häufigkeit aufgefasst werden kann. T N T N T N T N T N ... ... T N T N p 1 – p p 1 – p p 1 – p p 1 – p p 1 – p p 1 – p p 1 – p Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv