Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

208 Augensumme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 9.5 Die Binomialverteilung Wir betrachten ein Glücksrad, das in ein rotes und ein blaues Feld geteilt ist. Bleibt der Zeiger im roten Feld stehen, sprechen wir von einem Treffer (T), andernfalls von einem Nichttreffer (N). Das Glücksrad wird n-mal gedreht. Wir fassen das einmalige Drehen des Glücksrads als (Zufalls-) Versuch auf und das n-malige Drehen als eine Versuchsserie , in der der Versuch n-mal unter gleichen Bedingungen durchgeführt wird. Die absolute Häufigkeit H der Treffer bei dieser Versuchsserie (n-maliges Drehen) kann die Werte H = 0, 1, 2, …, n annehmen. Vor der Durchführung der Versuchsserie kann man nicht mit Sicher- heit sagen, welcher Wert von H sich ergeben wird. Wir fassen die Trefferhäufigkeit H als Zufalls- variable auf, die die Werte 0, 1, 2, …, n annehmen kann, und fragen: Mit welchen Wahrscheinlich- keiten werden diese Werte auftreten? 9.85 Wir nehmen an, dass in dem oben abgebildeten Glücksrad ein Treffer mit der Wahrscheinlichkeit ​  5 _  12 ​und ein Nichttreffer mit der Wahrscheinlichkeit ​  7 _  12 ​eintritt. Das Glücksrad wird zweimal unter den gleichen Bedingungen gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Treffer- häufigkeit H die Werte 0, 1, 2 annimmt! Stelle die Ergebnisse durch eine Tabelle und ein Stab­ diagramm dar! Lösung: Wir zeichnen das nebenstehende Baumdiagramm. Diesem entnehmen wir: P(H = 0) = ​  7 _  12 ​· ​  7 _  12 ​≈ 0,34 P(H = 1) = ​  5 _  12 ​· ​  7 _  12  ​+ ​  7 _  12  ​· ​  5 _  12  ​≈ 0,49 P(H = 2) = ​  5 _  12 ​· ​  5 _  12 ​≈ 0,17 Tabelle:  Stabdiagramm: k 0 1 2 P(H = k) 0,34 0,49 0,17 Bemerkung: Eine Versuchsserie bezeichnet man als n-stufiges Bernoulli-Experiment (auch Bernoulli-Versuch oder Bernoulli-Kette ), wenn sie aus der n-maligen Durchführung eines Versuchs besteht, wobei jeder Versuch „„ genau zwei Versuchsausfälle besitzt (zB Treffer und Nichttreffer) und „„ unter den gleichen Bedingungen durchgeführt wird. Das oben behandelte n-malige Drehen eines Glückrads ist ein Bernoulli- Experiment. Benannt sind solche Versuchsserien nach Jakob Bernoulli, der sich mit ihnen eingehend beschäftigt hat. T N T N T N T N 5 12 5 12 7 12 7 12 5 12 7 12 k P(H = k) 0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1 2 Jakob BERNOULLI (1654 –1705) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv