Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

207 9.4 Fakultät und Binomialkoeffizienten In diesem Dreieck spiegeln sich die Eigenschaften des letzten Satzes wider: Wegen 2   n  0   3 = 2   n  n 3 = 1 steht am linken und am rechten Rand stets 1. Wegen 2   n  k   3 = 2   n  n – k    3 ist in jeder Zeile die erste Zahl gleich der letzten, die zweite Zahl gleich der vorletzten, usw. Die Binomialkoeffizienten sind also in jeder Zeile symmetrisch angeordnet. Wegen 2   n  k   3 = 2   n – 1  k – 1   3 + 2   n – 1  k    3 erhält man jede Zahl durch Addition der beiden unmittelbar darüber stehenden Zahlen. Im obigen Dreieck ist dies für 2    4    2 3 = 2  3    1 3 + 2  3    2 3 eingezeichnet. Auf diese Weise kann das Pascal’sche Dreieck beliebig weit fortgesetzt werden. Aufgaben Grundkompetenzen 9.82 Erweitere das Pascal’sche Dreieck um drei zusätzliche Zeilen! 9.83 Ermittle 2    17 14   3 , 2  20 15   3 und 2  25 21   3 anhand der Tabelle auf Seite 264! Beachte dabei: 2   n  k   3 = 2   n  n – k   3 Der Binomiallehrsatz Die Binomialkoeffizienten heißen so, weil sie in dem folgenden Satz auftreten. Satz Binomiallehrsatz (Binomischer Lehrsatz): Für alle a, b * R und alle n * N * gilt: (a + b) n = 2   n  0   3 a n b 0 + 2   n  1 3 a n – 1 b 1 + 2   n  2 3 a n – 2 b 2 + … + 2   n  n 3 a 0 b n Beweis: (a + b) n = (a + b) · (a + b) ·…· (a + b) 122222222222222223222222222222222245 n Klammerausdrücke Multipliziert man die Klammern miteinander aus, erhält man eine Summe von Ausdrücken der Form a k · b n – k . Jeder Summand a k · b n – k entsteht dadurch, dass man a aus k Klammern, b aus den restlichen n – k Klammern auswählt und die ausgewählten Elemente miteinander multipliziert. Jeder Summand entspricht somit einem Wort, das aus den Buchstaben a und b gebildet wird und in dem a genau k-mal vorkommt. Das es 2   n  k   3 Wörter dieser Art gibt, kommt jeder Summand a k · b n – k genau 2   n  k   3 -mal vor.  Für n = 2 und n = 3 ergeben sich aus dem Binomiallehrsatz bekannte Formeln: (a + b) 2 = 2  2    0 3 · a 2 b 0 + 2  2    1 3 · a 1 b 1 + 2  2    2 3 · a 0 b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = 2  3    0 3 · a 3 b 0 + 2  3    1 3 · a 2 b 1 + 2  3    2 3 · a 1 b 2 + 2  3    3 3 · a 0 b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Aufgaben Vertiefung 9.84 Beweise für n * N *: 2   n  0   3 + 2   n  1   3 + … + 2  n    n 3 = 2 n Hinweis: Wähle im Binomiallehrsatz spezielle Werte für a und b! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv