Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

206 9 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 9.79 In einem Raum sind 9 Lampen. Auf wie viele Arten kann der Raum beleuchtet werden, wenn genau a) 3, b) 5, c) 7 Lampen brennen sollen? Hinweis: Gehe von einer festen Reihenfolge der Lampen aus und bilde Wörter aus den Buchstaben e (ein) und a (aus)! 9.80 Stelle den grün hervorgehobenen Weg von A nach B als Wort mit Hilfe der Buchstaben R (nach rechts) und O (nach oben) dar! Berechne weiters, wie viele Wege es von A nach B gibt! a) b) c) 9.81 Auf wie viele Arten kann man a) sechs verschiedenfarbige, b) drei gleichartige rote und drei gleichartige blaue Holzperlen auf eine Schnur schieben? Eigenschaften der Binomialkoeffizienten Satz (1) 2    n  0   3 = 2   n  n 3 = 1 (n * N *) (2) 2   n  k   3 = 2   n  n – k   3 (n * N * und k * N mit 0 ª k ª n) (3) 2   n  k   3 = 2   n – 1  k – 1 3 + 2   n – 1  k    3 (n, k * N * mit n º 2 und 1 ª k ª n – 1) Beweis: Wir begründen diese Eigenschaften mit Wörtern aus den Buchstaben a und b. (1) Es gibt genau ein Wort der Länge n, in dem a genau 0-mal vorkommt, nämlich bb…b. Es gibt genau ein Wort der Länge n, in dem a genau n-mal vorkommt, nämlich aa…a. (2) Vertauscht man in allen Wörtern der Länge n, in denen a genau k-mal vorkommt, die Buch- staben a und b, erhält man alle Wörter der Länge n, in denen a genau (n – k)-mal vorkommt. (3) Alle 2  n    k 3 Wörter der Länge n, in denen a genau k-mal vorkommt, erhält man, indem man an alle 2  n – 1 k – 1   3 Wörter der Länge n – 1, in denen a genau (k – 1)-mal vorkommt, ein a anhängt und an alle 2   n – 1  k   3 Wörter der Länge n – 1, in denen a genau k-mal vorkommt, ein b anhängt.  Man kann die Binomialkoeffizienten in Form eines Dreiecks anordnen, das man Pascal’sches Dreieck nennt (nach Blaise Pascal, 1623–1662): 2    1    0 3 2  1    1 3 1 1 2  2    0 3 2  2    1 3 2  2    2 3 1 2 1 2  3    0 3 2  3    1 3 2  3    2 3 2  3    3 3 1 3 3 1 2  4    0 3 2  4    1 3 2    4    2 3 2    4    3 3 2  4    4 3 1 4 6 4 1 … … A B A B A B Blaise PASCAL, 1623–1662 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv