Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

205 9.4 Fakultät und Binomialkoeffizienten Sinnlose „Wörter“ Wir bilden aus den Buchstaben a und b sinnlose „Wörter“, zum Beispiel aaabba oder abbabba. Die Anzahl der aufeinander folgenden Buchstaben in einem solchen Wort bezeichnen wir als „Länge des Wortes“. Zum Beispiel ist aabab ein Wort der Länge 5. 9.76 Wie viele Wörter der Länge 4 kann man aus den Buchstaben a und b bilden, in denen a genau zweimal vorkommt? Lösung: Wenn wir die Wörter lexikografisch anschreiben, sehen wir, dass es sechs solche Wörter gibt: aabb abab abba baab baba bbaa Satz Die Anzahl der aus den Buchstaben a und b gebildeten Wörter der Länge n, in denen a genau k-mal vorkommt, ist gleich ​ 2  ​ n    k ​ 3 ​. Beweis: Wir betrachten eine n-elementige Menge M, etwa M = {x 1  , x 2  , …, x n } und eine k-elementige Teilmenge T von M. Wir gehen die Elemente x 1  , x 2  , …, x n der Reihe nach durch. Unter jedes Element, das zur Teilmenge T gehört, schreiben wir ein a, unter jedes der übrigen Elemente ein b. Beispielsweise sieht das für M = {x 1  , x 2  , x 3  , x 4  , x 5 } und T = {x 1  , x 3  , x 4 } so aus: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 a b a a b Man erkennt: Jeder k-elementigen Teilmenge T von M entspricht ein Wort, das aus den Buchstaben a und b besteht und in dem a genau k-mal vorkommt. Umgekehrt entspricht jedem solchen Wort eine k-elementige Teilmenge von M. Da es ​ 2  ​ n    k ​ 3 ​solche Teilmengen gibt, gibt es auch ​ 2  ​ n    k ​ 3 ​solche Wörter.  Zusammenfassung: Zwei Bedeutungen von ​ (  ​ n    k ​ ) ​: „„ ​ 2  ​ n    k ​ 3 ​ist gleich der Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. „„ ​ 2  ​ n    k ​ 3 ​ist gleich der Anzahl der aus zwei Buchstaben a und b gebildeten Wörter der Länge n, in denen a genau k-mal vorkommt. Aufgaben Grundkompetenzen 9.77 Wie viele Wörter der Länge 10 kann man aus den Buchstaben u und v bilden, wenn v a) nie,  b) genau zweimal,  c) genau fünfmal,  d) genau siebenmal,  e) genau zehnmal vorkommen soll? 9.78 Bei einer Prüfung sind 10 Fragen zu beantworten. Das Prüfungsergebnis ist positiv, wenn mindestens 8 Fragen richtig beantwortet werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es  a) genau 8, b) genau 9,  c) alle Fragen richtig zu beantworten? Hinweis: Bilde Wörter aus den Buchstaben r (richtig) und f (falsch)! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv