Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

200 9 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 9.49 Ein Hersteller prüft die Funktionstüchtigkeit jedes erzeugten elektronischen Bauteils durch drei aufeinanderfolgende Kontrollen A, B und C, die einen Defekt mit den Wahrscheinlichkeiten 85%, 80% bzw. 90% erkennen. Zeigt eine Kontrolle einen Defekt an, so wird der Prüfvorgang abge­ brochen und der Bauteil gilt als Ausschuss. Nach der dritten Kontrolle wird der Vorgang auf jeden Fall abgebrochen, unabhängig davon, ob ein Defekt gefunden wurde oder nicht. Es sei Z die Anzahl der Kontrollen, die an einem Bauteil vorgenommen werden. Bestimme den jeweiligen Erwartungswert von Z für alle möglichen Kontrollreihenfolgen ABC, ACB, BAC, BCA, CAB und CBA! Welche Reihenfolge ist am günstigsten, d.h. für welche Reihenfolge ist Z am kleinsten? Hinweis: Zeichne für jede Reihenfolge ein Baumdiagramm! 9.50 Alex und Bea vereinbaren folgendes Spiel: Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden zwei Karten gezogen. Haben diese die gleiche „Farbe“ (Herz, Karo, Pik, Treff), so gewinnt Alex. Und zwar erhält er von Bea 0,50€, wenn es zwei Herz-, Karo, oder Pik-Karten sind. Wenn es zwei Treff-Karten sind, erhält er sogar 1,00€. Wenn die Karten von verschie- dener Farbe sind, hat Bea gewonnen und erhält von Alex 0,20€. Wie groß ist der zu erwartende durchschnittliche Gewinn (oder Verlust) von Alex? Hinweis: Zeichne ein unvollständiges Baumdiagramm! Unterscheide beim ersten Zug die Ausfälle H, K, P, T und beim zweiten Zug nur jeweils die Ausfälle H und ¬H, K und ¬K usw.! 9.51 In Blumstadt sind pro Jahr 10% der Autos in einen leichten Unfall (Blech- ohne Personenschaden) verwickelt. Die deswegen nötige Reparatur kostet im Mittel 1 200€. Ein Autobesitzer, dem diese Daten bekannt sind, erhält von einer Versicherung folgenden Vorschlag: Es ist eine Jahresprämie von 100€ zu bezahlen, im Falle eines leichten Unfalls werden 900€ ausgezahlt. Soll der Autofahrer auf diesen Vorschlag ein- gehen? Hinweis: Trage in die Tabelle die Ausgaben des Autofahrers ein und berechne den Erwar- tungswert der Ausgaben mit bzw. ohne Ab- schluss der Versicherung! Zusammenfassung Die Begriffe „Mittelwert“, „empirische Varianz“ und „empirische Standardabweichung“ gehören zu Häufigkeitsverteilungen, die Begriffe „Erwartungswert“, „Varianz“ und „Standardabweichung“ zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die letzteren Begriffe sind den ersteren Begriffen näherungs- weise gleich, wenn eine lange Liste von Variablenwerten vorliegt. In ähnlicher Weise können auch andere Begriffe der beschreibenden Statistik entsprechenden Begriffen der Wahrscheinlichkeitstheorie gegenübergestellt werden: Begriff der beschreibenden Statistik Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Variable (Merkmal) Zufallsvariable Häufigkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung Mittelwert Erwartungswert empirische Varianz Varianz empirische Standardabweichung Standardabweichung Ausgaben in € mit Versicherung ohne Versicherung Unfall kein Unfall Nur z Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv