Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

199 9.3 Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen 9.40 Setzt man beim Roulette einen Jeton (eine Spielmarke) auf „einfache Chancen“ (Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit ​  18 _ 37 ​ , zB „Rot“ oder „Gerade“), so erhält man 2 Jetons, wenn ein solches Ereignis eintritt. Der Gewinn beträgt also 1 Jeton. Verliert man, so ist der gesetzte Jeton verloren. Berechne Erwartungswert und Varianz des Gewinns, wenn man auf „einfache Chancen“ setzt! 9.41 Eine Zufallsvariable X nimmt den Wert 1 mit der Wahrscheinlichkeit p und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p an. Berechne den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen! 9.42 Anlässlich eines Maturaballs werden 300 Lose verkauft. Davon sind 150 Nieten, bei 100 Losen erhält man einen Preis im Wert von 2€, bei 40 Losen einen Preis im Wert von 5€, bei 9 Losen einen Preis im Wert von 8€, der Haupttreffer bringt einen Preis im Wert von 100€. Berechne Erwartungswert und Varianz des Werts des Preises! 9.43 In einer Urne sind vier Kugeln mit den Nummern 1, 2, 3 und 4. Es werden nacheinander zwei Kugeln  a) mit Zurücklegen,  b) ohne Zurücklegen gezogen. Es sei X die Summe der Nummern der gezogenen Kugeln. Berechne E(X) und V(X)! 9.44 Das nebenstehend abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht. Man erhält so viel ausbezahlt, wie die Zahl am Rand des jeweiligen Sektors angibt. Es sei P das Produkt der Gewinnbeträge. Berechne E(P) und V(P)! Aufgaben Vertiefung 9.45 Zeige durch Rechnung: Wird jeder der Werte a 1  , a 2  , …, a k einer Zufallsvariablen X auf das m-fache erhöht, so erhöht sich  1) der Erwartungswert von X auf das m-fache, 2) die Varianz von X auf das m 2 -fache,  3) die Standardabweichung auf das m-fache. 9.46 Bei dem nebenstehend abgebildeten Glücksrad erhält man so viel ausbezahlt, wie die Zahl am Rand des jeweiligen Sektors angibt. Das Glücksrad wird so oft gedreht, bis die Summe der erhaltenen Gewinne mindestens 4 ist. Es sei N die Anzahl der dazu notwendigen Drehungen. Berechne E(N) und V(N)! 9.47 In einer Urne befinden sich 4 Kugeln, von denen zwei mit der Nummer 1 und zwei mit der Nummer 2 beschriftet sind. Aus der Urne werden zwei Kugeln  a) mit Zurücklegen, b) ohne Zurücklegen gezogen. Es sei X die erhaltene Nummer bei der ersten Ziehung und Y die erhaltene Nummer bei der zweiten Ziehung. Berechne E(X), E(Y) und E(X + Y)! Welche Regel kann vermutet werden? 9.48 Eine Münze wird viermal geworfen. Wenn aufeinander folgende Würfe verschiedene Ergebnisse zeigen, liegt ein „Wechsel“ vor. Es sei Y die Anzahl der Wechsel. (Beispiel: Beim Ausfall ZKKZ ist Y = 2). Berechne E(Y) und V(Y)! Was bedeutet E(Y) für lange Versuchsserien? Hinweis: Zeichne ein Baumdiagramm! 2 1 4 1 2 1 3 1 6 2 1 1 2 1 2 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv