Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

198 9 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Varianz und Standardabweichung Sei X eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten a 1 , a 2 , …, a k . Bei n-maliger Durchführung des Zufallsversuchs lautet die empirische Varianz der Liste: s 2 = (a 1 – _ x) 2 · h n (a 1 ) + (a 2 – _ x) 2 · h n (a 2 ) + … + (a k – _ x) 2 · h n (a k ) Mit zunehmendem n nähert sich der Mittelwert _ xder Liste im Großen und Ganzen dem Erwartungswert μ der Zufallsvariablen X und die relativen Häufigkeiten h n (a i ) nähern sich den Wahrscheinlichkeiten p i = P(X = a i ): s 2 = (a 1 – _ x) 2 · h n (a 1 ) + (a 2 – _ x) 2 · h n (a 2 ) + … + (a k – _ x) 2 · h n (a k ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ σ 2 = (a 1 – μ ) 2 · p 1 + (a 2 – μ ) 2 · p 2 + … + (a k – μ ) 2 · p k Die Zahl σ 2 , der sich die empirische Varianz dabei im Großen und Ganzen nähert, wird als Varianz der Zufallsvariablen X bezeichnet. Definition Es sei X eine Zufallsvariable mit den Werten a 1 , a 2 , …, a k , die mit den Wahrscheinlichkeiten p 1 , p 2 , …, p k angenommen werden. Dann nennt man σ 2 = V(X) = (a 1 – μ ) 2 · p 1 + (a 2 – μ ) 2 · p 2 + … + (a k – μ ) 2 · p k die Varianz von X. Die Zahl σ = 9 ___ V(X) heißt Standardabweichung von X. Nach den obigen Überlegungen gilt: Je länger eine Liste von Variablenwerten wird, desto mehr nähert sich die empirische Varianz der Liste im Großen und Ganzen der Varianz der entsprechenden Zufallsvariablen. Wir können also sagen: Die Varianz bzw. Standardabweichung einer Zufallsvariablen ist näherungsweise gleich der empirischen Varianz bzw. empirischen Standardabweichung einer sehr langen Liste von Werten der betrachteten Zufallsvariablen. Der Verschiebungssatz für die empirische Varianz überträgt sich auf die Varianz einer Zufalls variablen: Satz Verschiebungssatz für die Varianz: σ 2 = a 1 2 · p 1 + a 2 2 · p 2 + … + a k 2 · p k – μ 2 Aufgaben Grundkompetenzen 9.36 Berechne Varianz und Standardabweichung der Augenzahl beim Wurf mit einem Würfel! Wie kann man die Ergebnisse deuten? 9.37 Berechne Varianz und Standardabweichung der Augensumme beim Wurf mit zwei Würfeln! Wie kann man die Ergebnisse deuten? 9.38 Berechne Varianz und Standardabweichung der Anzahl von „Kopf“ bei dreimaligem Münzwurf! Wie kann man die Ergebnisse deuten? 9.39 Setzt man beim Roulette einen Jeton (eine Spielmarke) auf eine bestimmte Zahl, so erhält man 36 Jetons, wenn diese Zahl kommt. Der Gewinn beträgt also 35 Jetons. Verliert man, so ist der gesetzte Jeton verloren. Berechne Erwartungswert und Varianz des Gewinns, wenn man auf eine bestimmte Zahl setzt! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv