Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

197 9.3 Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen 9.30 Auf einem Geflügelhof werden die Hühnereier nach EU-Norm in vier Gewichtsklassen eingeteilt: XL (sehr groß), L (groß), M (mittel), S (klein). In der folgenden Tabelle ist angegeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ei jeweils in einer Gewichtsklasse liegt und wie groß der Reingewinn (in Euro) pro Ei in der jeweiligen Gewichtsklasse ist. Wie groß ist insgesamt der durchschnittliche Reingewinn pro Ei? Gewichtsklasse XL L M S Wahrscheinlichkeit 0,1 0,3 0,4 0,2 Reingewinn pro Ei 0,1 0,07 0,05 0,01 Aufgaben Vertiefung 9.31 An seinem 30. Geburtstag entschließt sich Herr Walder seine Familie für das kommende Jahr finanziell zusätzlich abzusichern. Der Versicherer AustriaLife macht ihm dazu folgendes Angebot: Gegen Vorauszahlung einer Prämie von 100€ an den Versicherer, leistet AustriaLife 100000€ an die Erben, falls Herr Walder im 31. Lebensjahr verstirbt. Die Sterbetafel der Statistik Austria gibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein 30-jähriger Mann wäh- rend des 31. Lebensjahres stirbt, mit 0,0006602 an. 1) Berechne die Höhe des zu erwartenden Gewinns des Versicherers bei diesem Angebot! 2) Welchen Rabatt auf die Prämie von 100€ könnte AustriaLife dem Kunden maximal gewähren, wenn die Gewinnerwartung von AustriaLife mindestens 15€ betragen soll? Hinweis zu 1): Fertige eine Tabelle an, die die entsprechende Sterbe- bzw. Überlebenswahrschein- lichkeit sowie die zugehörigen Gewinne des Versicherers enthält! 9.32 Eine Urne enthält drei schwarze und zwei weiße Kugeln. Es wird so lange (ohne Zurücklegen) gezogen, bis man beide weiße Kugeln erhält. Es sei X die Anzahl der Ziehungen. Berechne E(X)! 9.33 Ein Spiel heißt „fair“, wenn der Erwartungswert des Gewinns gleich 0 ist (dh. wenn man im Mittel weder Geld erhält noch Geld verliert). Angenommen, man gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit p und verliert mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p. In welchem Verhältnis muss der einzusetzende Betrag e zum auszuzahlenden Betrag a stehen, damit das Spiel fair ist? 9.34 Ein Industrieunternehmen weiß aus Erfahrung, dass ein Störfall auf drei Störungstypen A, B und C zurückgeführt werden kann. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Störungstypen und die damit verbundenen Reparaturkosten sind in folgender Tabelle zu finden: Störungstyp A B C Wahrscheinlichkeit 0,2 0,7 0,1 Reparaturkosten (in Euro) 15000 2000 7000 Welche Kosten sind bei einem Störfall durchschnittlich zu erwarten? 9.35 Anna und Lukas verabreden folgendes Spiel: Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Unterscheiden sich die Augenzahlen höchstens um 1, so bekommt Anna von Lukas den Geldbetrag 6€. Andernfalls bekommt Lukas von Anna den Geldbetrag 5€. Welcher Spieler ist im Vorteil? Hinweis: Lege eine ähnliche Tabelle wie im Beispiel 2 auf Seite 186 an und berechne den Erwartungswert des erhaltenen Geldbetrags für Anna bzw. Lukas! Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv