Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

196 9 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Beispiel 1: Es sei A die Augenzahl eines Würfels. Da die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl   1 _  6 beträgt, erhält man: E(A) = 1 ·   1 _  6 + 2 ·   1 _  6 + 3 ·   1 _  6 + 4 ·   1 _  6 + 5 ·   1 _  6 + 6 ·   1 _ 6 = 3,5 Wenn man sehr oft würfelt, wird man also im Mittel ca. die Augenzahl 3,5 erhalten. Beispiel 2: Es sei S die Augensumme zweier Würfel. Anhand der Wahrscheinlichkeitstabelle auf Seite 187 erhält man: E(S) = 2 ·   1 _  36  + 3 ·   2 _  36 + … + 7 ·   6 _  36 + … + 11 ·   2 _  36  + 12 ·   1 _  36  = 7 Wenn man zwei Würfel sehr oft wirft, wird man also im Mittel ungefähr die Augen- summe 7 erhalten. Beispiel 3: Es sei X die Anzahl von „Kopf“ bei dreimaligem Münzwurf. Anhand der Wahrschein- lichkeitstabelle auf Seite 187 erhält man: E(X) = 0 ·   1 _  8 + 1 ·   3 _  8 + 2 ·   3 _  8 + 3 ·   1 _ 8 = 1,5 Wenn man einen dreimaligen Münzwurf sehr oft durchführt, wird man also im Mittel ungefähr 1,5-mal Kopf erhalten. Aufgaben Grundkompetenzen 9.23 Überprüft den Erwartungswert in a) Beispiel 1, b) Beispiel 2, c) Beispiel 3 durch eine lange Versuchsserie! (Jeder Schüler und jede Schülerin würfelt beispielsweise 20-mal, dann werden die Ergebnisse zusammengefasst.) 9.24 Das nebenstehende Glücksrad ist in vier Sektoren unterteilt. Der jeweilige Gewinn (in Euro) ist am Rand jedes Sektors angegeben. Berechne den Erwartungswert des Gewinns! Wie kann dieser Erwartungs- wert gedeutet werden? 9.25 (Fortsetzung von 9.24) Man muss 2€ zahlen, um das Glücksrad einmal drehen zu dürfen. Wie groß ist jetzt der Erwartungswert des Gewinns? Erhält man dasselbe Ergebnis, wenn man von dem in Aufgabe 9.24 berechneten Erwartungswert 2€ abzieht? Hinweis: Die Zufallsvariable „Gewinn“ nimmt jetzt die Werte 1 – 2, 2 – 2, 3 – 2 und 4 – 2 an. 9.26 Es werde zweimal gewürfelt. Es seien X und Y die beiden Augenzahlen. Berechne den Erwartungswert von: a) X · Y b) X – Y c) † X – Y † d) Maximum von X, Y 9.27 Eine Münze wird viermal geworfen. Berechne den Erwartungswert von „Kopfanzahl“! 9.28 Bei einem Glücksspielautomaten muss man 5 Jetons einsetzen. Nach Betätigung wirft der Automat 2 bis 10 Jetons aus. Bei 40 Spielen wurden folgende Anzahlen ausgeworfener Jetons notiert: 2, 2, 7, 2, 3, 5, 10, 9, 6, 3, 2, 2, 3, 4, 4, 2, 10, 2, 4, 3, 3, 7, 5, 2, 4, 4, 2, 8, 6, 2, 3, 3, 4, 2, 6, 4, 3, 2, 4, 3 Gib näherungsweise den zu erwartenden Gewinn bei einem Spiel an! 9.29 Die möglichen Werte einer Zufallsvariablen X seien a 1 , a 2 , …, a k . 1) Beweise: Wird jeder Wert a i verdoppelt, so verdoppelt sich auch E(X). 2) Wenn jeder Wert a i um 1 erhöht wird, wird dann auch E(X) um 1 erhöht? Begründe! C 1 2 1 6 1 4 1 12 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv