Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

195 Augensumme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 9.3 Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen Erwartungswert 9.22 Das nebenstehende Glücksrad ist in vier Sektoren unterteilt. Der relative Anteil jedes Sektors am gesamten Kreisflächeninhalt ist in jedem Sektor eingetragen. Bleibt der Zeiger in einem bestimmten Sektor stehen, bekommt man so viel Euro ausbezahlt, wie am Rand des jeweiligen Sektors angegeben ist. Jemand dreht das Glücksrad sehr oft (etwa 1 000-mal). Wie groß wird sein mittlerer Gewinn pro Drehung sein? Lösung: Die Zufallsvariable „Gewinn“ kann die Werte 0, 2, 5, 10 annehmen. Wird das Glücksrad n-mal gedreht, dann wird jeder dieser Werte mit einer bestimmten relativen Häufigkeit auftreten. Wir bezeichnen diese relativen Häufigkeiten mit h n (0), h n (2), h n (5) und h n (10). Der Mittelwert _ x der Gewinne aller Spiele ist dann: _ x= 0 · h n (0) + 2 · h n (2) + 5 · h n (5) + 10 · h n (10) Da n groß ist, stimmen die relativen Häufigkeiten näherungsweise mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten überein: h n (0) ≈ 0,4, h n (2) ≈ 0,3, h n (5) ≈ 0,2, h n (10) ≈ 0,1 Daraus folgt: _ x≈ 0 · 0,4 + 2 · 0,3 + 5 · 0,2 + 10 · 0,1 = 2,6 Der mittlere Gewinn pro Drehung wird also ca. 2,60€ betragen. Wir verallgemeinern die Überlegung in der letzten Aufgabe. Sei X eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten a 1 , a 2 , …, a k . Bei n-maliger Durchführung des Zufallsversuchs lautet der Mittelwert der Liste: _ x= a 1 · h n (a 1 ) + a 2 · h n (a 2 ) + … + a k · h n (a k ) Mit zunehmendem n nähern sich die relativen Häufigkeiten h n (a i ) im Großen und Ganzen den Wahrscheinlichkeiten P(X = a i ), die wir kurz mit p i bezeichnen (1 ª i ª k): _ x= a 1 · h n (a 1 ) + a 2 · h n (a 2 ) + … + a k · h n (a k ) ↓ ↓ ↓ ↓ μ = a 1 · p 1 + a 2 · p 2 + … + a k · p k Die Zahl μ , der sich der Mittelwert _ xdabei im Großen und Ganzen nähert, wird als Erwartungs- wert der Zufallsvariablen X bezeichnet. Definition Es sei X eine Zufallsvariable mit den Werten a 1 , a 2 , …, a k , die mit den Wahrscheinlichkeiten p 1 , p 2 , …, p k angenommen werden. Dann nennt man μ = E(X) = a 1 · p 1 + a 2 · p 2 + … + a k · p k den Erwartungswert von X. Nach den obigen Überlegungen gilt: Je länger eine Liste von Variablenwerten wird, desto mehr nähert sich der Mittelwert der Liste im Großen und Ganzen dem Erwartungswert der entsprechenden Zufallsvariablen. Wir können also sagen: Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist näherungsweise gleich dem Mittelwert einer sehr langen Liste von Werten der betrachteten Zufallsvariablen. 0 0,4 0,3 0,2 0,1 2 5 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv