Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

192 Augensumme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 9.2 Wiederholung: Mittelwert und empirische Varianz einer Liste In Mathematik verstehen 6, Seite 210 und 216 haben wir den Mittelwert, die empirische Varianz und die empirische Standardabweichung einer Liste kennengelernt. Wir wiederholen: Definition Es sei x 1 , x 2 , …, x n eine Liste von reellen Zahlen. Man nennt _ x=   x 1 + x 2 + … + x n ___ n  den Mittelwert der Liste, s 2 =   (x 1 – _ x) 2 + (x 2 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 _____  n  die empirische Varianz der Liste, s = 9 _______________   (x 1 – _ x) 2 + (x 2 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 _____  n  die empirische Standardabweichung der Liste. Satz Sind a 1 , a 2 , …, a k die möglichen Werte einer Variablen und treten diese mit den absoluten Häufigkeiten H 1 , H 2 , …, H k (mit H 1 + H 2 + … + H k = n) bzw. den relativen Häufigkeiten h 1 , h 2 , …, h k (mit h 1 + h 2 + … + h k = 1) auf, dann gilt: _ x =   a 1 · H 1 + a 2 · H 2 + … + a k · H k _____ n  = a 1 ·   H 1 _ n  + a 2 ·   H 2 _ n  + … + a k ·   H k _ n  = a 1 · h 1 + a 2 · h 2 + … + a k · h k s 2 =   (a 1 – _ x) 2 · H 1 + (a 2 – _ x) 2 · H 2 + … + (a k – _ x) 2 · H k _______ n  = (a 1 – _ x) 2 ·   H 1 _ n  + (a 2 – _ x) 2 ·   H 2 _ n  + … + (a k – _ x) 2 ·   H k _ n  = = (a 1 – _ x) 2 · h 1 + (a 2 – _ x) 2 · h 2 + … + (a k – _ x) 2 · h k Zur praktischen Berechnung der Varianz eignet sich die folgende Formel besser (siehe Mathe matik verstehen 6, Seite 217): Satz Verschiebungssatz für die empirische Varianz: s 2 =   x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 ___  n  – _ x 2 = a 1 2 ·   H 1 _  n  + a 2 2 ·   H 2 _ n  + … + a k 2 ·   H k _  n  – _ x 2 = = a 1 2 · h 1 + a 2 2 · h 2 + … + a k 2 · h k – _ x 2 Aufgaben Grundkompetenzen 9.15 Aus den beiden siebenten Klassen einer Schule werden jeweils 10 Jugendliche ausgelost und einem Wissenstest unterzogen, in dem sie die Punktezahlen 1 bis 5 erreichen können. Dabei ergeben sich folgende Punktelisten: 7a-Klasse: 2, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 2, 2 7b-Klasse: 3, 4, 4, 2, 1, 4, 2, 5, 3, 3 1) Ermittle für jede Klasse die absoluten und relativen Häufigkeiten der Punktezahlen! Lege dazu für jede Klasse eine Tabelle an! 2) Ermittle für jede Klasse die mittlere Punktezahl _ x! Welche Klasse erhält im Mittel mehr Punkte? 3) Ermittle für jede Klasse die empirische Varianz s 2 und die empirische Standard- abweichung s der Punktezahlen! In welcher Klasse streuen die Punktezahlen stärker um den Mittelwert? 4) Stelle für jede Klasse die Verteilung der relativen Häufigkeiten der Punktezahlen durch ein Stabdiagramm dar! Trage in das Stabdiagramm auch den Mittelwert _ xein! Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv