Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

191 9.1 Zufallsvariablen und ihre Verteilungen Allgemein gilt für eine Zufallsvariable X mit den möglichen Werten a 1  , a 2  , a 3  , …: Bei zunehmender Anzahl der Versuchsdurchführungen nähert sich jede relative Häufigkeit h n  (a i ) im Großen und Ganzen der Wahrscheinlichkeit P(X = a i ) und somit die Häufigkeitsverteilung von X im Großen und Ganzen der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Wird eine Versuchsserie zu je n Versuchen mehrfach durchgeführt, so kann sich jedes Mal eine etwas andere Häufigkeitsverteilung ergeben. Es ist jedoch eine Erfahrungstatsache, dass bei großem n die einzelnen Häufigkeitsverteilungen nicht sehr stark voneinander abweichen und um die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung schwanken. Dies ist der Inhalt des folgenden Gesetzes: Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Wird eine Versuchsserie zu je n Versuchen mehrfach durchgeführt und ist n groß, so weichen die einzelnen Häufigkeitsverteilungen nur wenig voneinander ab und schwanken um die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beachte: Dieses Gesetz ist kein mathematisches Gesetz, sondern bloß eine Erfahrungstatsache. Es wird deshalb als „empirisches Gesetz“ bezeichnet. Aufgaben Grundkompetenzen 9.11 Führt einen dreimaligen Münzwurf möglichst oft durch und notiert jedes Mal die Anzahl von „Kopf“! (Jeder wirft mehrmals, die Ergebnisse werden zusammengefasst.) Ermittelt die relative Häufig- keitsverteilung der Anzahl von „Kopf“ und zeichnet ein Stabdiagramm! Vergleicht mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung im Beispiel 3! 9.12 Führt einen Wurf mit zwei Würfeln möglichst oft durch und notiert jedes Mal die Augensumme! (Jeder wirft mehrmals, die Ergebnisse werden zusammengefasst.) Ermittelt die relative Häufigkeitsverteilung der Augensumme und zeichnet ein Stabdiagramm! Vergleicht mit der im Beispiel 2 auf Seite 187 angeführten Dreiecksverteilung! 9.13 Eine bestimmte Krankheit dauert höchstens drei Tage. An 400 Patienten hat man festgestellt, dass diese Krankheit bei 226 Patienten einen Tag, bei 143 Patienten zwei Tage und bei 31 Patienten drei Tage gedauert hat. 1) Ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Krankheitsdauer D und stelle sie durch eine Tabelle dar! 2) Ermittle näherungsweise P(D ª 2)! 9.14 Die Inkubationszeit einer Krankheit gibt die Zeit von der Infektion bis zum Ausbruch der Krankheit an. Bei 200 Patienten wurden für eine bestimmte Krankheit die in der untenstehenden Tabelle eingetragenen Werte der Inkubationszeit ermittelt. 1) Ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Inkubationszeit T und stelle sie durch eine Tabelle dar! 2) Ermittle näherungsweise P(T º 2), P(T º 3) und P(T º 4)! Inkubationszeit T (in Tagen) 1 2 3 4 5 absolute Häufigkeit 21 65 86 26 2 B Ó B Ó  Lernapplet 5f4j8g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv