Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

190 9 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 9.07 Aus der Urne in Aufgabe 9.06 werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Es sei U der Unterschied (Betrag der Differenz) der Nummern der gezogenen Kugeln. 1) Welche Werte kann U annehmen? 2) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von U durch ein Stabdiagramm dar! 9.08 In einer Urne befinden sich drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Es wird zweimal mit Zurück­ legen gezogen. Es sei X die Anzahl der dabei erhaltenen weißen Kugeln. 1) Welche Werte kann X annehmen? 2) Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und stelle diese durch eine Tabelle sowie ein Stabdiagramm dar! 9.09 In einer Urne befinden sich zwei weiße und eine schwarze Kugel. Es wird dreimal ohne Zurück­ legen gezogen. Es sei Z die Anzahl der Ziehungen bis zur schwarzen Kugel. 1) Welche Werte kann Z annehmen? 2) Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z und stelle diese durch eine Tabelle sowie ein Stabdiagramm dar! 9.10 Elf Kinder spielen „Entenrennen“. Am Start stehen 11 Enten, die mit den Nummern 2, 3, 4, …, 12 beschriftet sind. Jeder Spieler darf sich eine Ente aussuchen. Es wird reihum mit zwei Würfeln gewürfelt. Jeweils jene Ente darf ein Feld vorrücken, deren Nummer mit der Augensumme der beiden Würfel übereinstimmt. Die Ente, die nach 20-maligem Würfeln am weitesten vorne ist, hat gewonnen. 1) Welche Ente hat die besten Chancen? Begründe die Antwort! 2) Kann es mehrere Sieger geben? Begründe die Antwort! Zusammenhang zwischen Häufigkeitsverteilungen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Es sei X eine Zufallsvariable, die die Werte a 1  , a 2  , a 3  , … annehmen kann. Wird der Zufallsversuch n-mal durchgeführt, kann jeder dieser Werte öfters auftreten. Man kann also jedem Wert a i eine absolute Häufigkeit H n  (a i ) bzw. eine relative Häufigkeit h n  (a i ) zuordnen. Dadurch erhält man eine (absolute bzw. relative) Häufigkeitsverteilung der Zufallsvariablen X. Diese kann man durch eine Tabelle oder ein Stabdiagramm darstellen. Beispiel: Augensumme beim Wurf mit zwei Würfeln In den folgenden Abbildungen sind die relativen Häufigkeiten für n = 20, n = 100 bzw. n = 1 000 Würfe dargestellt. Da sich mit zunehmender Wurfanzahl n die relative Häufigkeit jedes Werts im Großen und Ganzen der entsprechenden Wahrscheinlichkeit nähert, nähert sich die relative Häufigkeitsverteilung der Augensumme im Großen und Ganzen der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme (Dreiecksverteilung). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 h Augensumme 6 36 1 36 n = 20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 h Augensumme 6 36 1 36 n = 100 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 h Augensumme 6 36 1 36 n = 1000 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv