Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

19 _ s 1 a b s(t) 100 f(a) f(b) 0 t 1 k b – a s f(b) – f(a) 2.2 Geometrische Deutungen des Differenzen- und Differentialquotienten Vorzeichen des Differenzenquotienten Ist [a; b] ein Intervall, dann gilt b – a > 0 und somit gilt:   f(b) – f(a) __  b – a  > 0 É f(b) – f(a) > 0 É f(a) < f(b) É É Sekantenfunktion streng monoton steigend in [a; b] É f steigt im „Endeffekt“ in [a; b] (muss aber in [a; b] nicht monoton steigend sein). Man sagt auch: f steigt im Mittel in [a; b].   f(b) – f(a) __  b – a  < 0 É f(b) – f(a) < 0 É f(a) > f(b) É É Sekantenfunktion streng monoton fallend in [a; b] É f fällt im „Endeffekt“ in [a; b] (muss aber in [a; b] nicht monoton fallend sein). Man sagt auch: f fällt im Mittel in [a; b].   f(b) – f(a) __  b – a  = 0 É f(b) – f(a) = 0 É f(a) = f(b) É É Sekantenfunktion konstant in [a; b] É f ist im „Endeffekt“ in [a; b] weder wachsend noch fallend (muss aber in [a; b] nicht konstant sein). Zwei Auffassungen des Differenzenquotienten Beispiel: Für die beim freien Fall in der Zeit t zurückgelegte Weglänge s gilt näherungsweise s(t) = 5 · t 2 (t in Sekunden, s in Meter). Wir betrachten die Funktion s und die zugehörige Sekantenfunktion _ sin einem Zeitintervall [a; b]. Der Differenzenquotient von s in [a; b], also die mittlere Geschwindigkeit in [a; b], ist gleich der Steigung k der Sekantenfunktion. Diese kann auf zwei Arten aufgefasst werden, wie man an der Abbildung erkennt: k =   s(b) – s(a) __ b – a  ist gleich dem Verhältnis der Wegzunahme zur Zeitzunahme in [a; b]. k ist gleich der Zunahme der Sekantenfunktion in 1 s. Anders ausgedrückt: k ist gleich der mittleren Wegzunahme pro Sekunde. Diese Auffassungen können verallgemeinert werden: Ein Differenzenquotient   f(b) – f(a) __  b – a  kann aufgefasst werden als Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [a; b], mittlere Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b]. Beachte: Bei der zweiten Auffassung darf das Wörtchen „mittlere“ nicht weggelassen werden. a b f b – a f(b) – f(a) f(a) f(b) a b b – a † f(b) – f(a) † f(b) f(a) f a b b – a f(b) f(a) f _ s 1 a b s(t) 100 s(a) s(b) 0 t 1 k b – a s s(b) – s(a) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv