Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

188 9 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diese Wahrscheinlichkeiten sind in der folgenden Tabelle eingetragen und im Stabdiagramm dargestellt. Wurfanzahl 1 2 3 … n Wahrscheinlichkeit ​  1 _ 6 ​≈ 0,167 ​  5 _ 6 ​· ​  1 _ 6 ​≈ 0,139 ​ 2  ​  5 _ 6 ​  3 ​ 2 ​· ​  1 _ 6 ​≈ 0,116 … ​ 2  ​  5 _ 6 ​  3 ​ n – 1 ​· ​  1 _ 6 ​ In jedem dieser Beispiele liegt ein Zufallsversuch vor (Wurf eines Würfels, Wurf zweier Würfel, dreimaliger Münzwurf, Würfeln bis zum ersten Sechser). Bei jedem Zufallsversuch haben wir eine Variable betrachtet, die verschiedene Werte annehmen kann: Variable Variablenwerte Beispiel 1 Augenzahl 1, 2, 3, 4, 5, 6 Beispiel 2 Augensumme 2, 3, 4, …, 12 Beispiel 3 Kopfanzahl 0, 1, 2, 3 Beispiel 4 Wurfanzahl bis zum ersten Sechser 1, 2, 3, 4, … Jedem Ausfall des Zufallsversuchs wird ein Wert der Variablen zugeordnet. So wird etwa im Beispiel 2 dem Wurfergebnis (1 1 1) der Augensummenwert 2, dem Wurfergebnis (1 1 2) der Augensummenwert 3 zugeordnet usw. Welchen Wert die Variable annimmt, kann man aber vor der Durchführung des Zufallsversuchs nicht sagen. Der Wert hängt vom Zufall ab. Deshalb bezeichnet man solche Variablen als Zufallsvariablen . Die Werte einer Zufallsvariablen müssen nicht unbedingt Zahlen sein. Zum Beispiel sind die Werte der Zufallsvariablen „Augenfarbe“ bei der zufälligen Auswahl einer Person aus einer Personenmenge: braun, blau, grün usw. Man kann jedoch diese Werte durch Zahlen verschlüsseln, zum Beispiel: 1 = braun, 2 = blau, 3 = grün, usw. Wir können also im Folgenden der Einfachheit halber annehmen, dass die Werte einer Zufallsvariablen reelle Zahlen sind. Definition Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ausfall eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zu. Zufallsvariablen bezeichnen wir mit Großbuchstaben, zum Beispiel X, Y. Nimmt eine Zufalls­ variable X bei einer konkreten Versuchsdurchführung den Wert a an, so schreiben wir X = a. Bei einer konkreten Versuchsdurchführung nimmt eine Zufallsvariable jeden ihrer Werte mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit an. Wir verwenden folgende Bezeichnungen: „„ P(X = a) = Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert a annimmt. „„ P(X > a) = Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert größer als a annimmt. „„ P(X < a) = Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner als a annimmt. „„ P(a < X < b) = Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen a und b annimmt. Analog sind die Schreibweisen P(X ª a), P(X º a), P(a ª X ª b), P(a ª X < b) und P(a < X ª b) zu verstehen. Wurfanzahl bis zum ersten Sechser P 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0,2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv