Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

187 9.1 Zufallsvariablen und ihre Verteilungen Die Augensumme 2 tritt in einem der 36 Fälle auf, somit beträgt ihre Wahrscheinlichkeit   1 _  36 . Die Augensumme 3 tritt in zwei der 36 Fälle auf, somit beträgt ihre Wahrscheinlichkeit   2 _  36 . Setze selbst fort! Es ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten, die in der folgenden Tabelle eingetragen und im Stabdiagramm dargestellt sind. Augensumme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Wahrscheinlichkeit   1 _  36   2 _  36    3 _  36   4 _  36   5 _  36   6 _  36   5 _  36   4 _  36   3 _  36   2 _  36   1 _  36 Beispiel 3: Anzahl von „Kopf“ bei dreimaligem Münzwurf Eine Münze wird dreimal geworfen und die Anzahl von „Kopf“ wird gezählt. Diese Anzahl kann die Werte 0, 1, 2 oder 3 annehmen. Um die Wahrscheinlichkeiten für diese Werte zu bestimmen, zeichnen wir das untenstehende Baumdiagramm, in dem „Kopf“ mit K und „Zahl“ mit Z abgekürzt ist. Daraus ergibt sich: P(0-mal Kopf) =   1 _ 2 ·   1 _ 2 ·   1 _  2 =   1 _ 8 P(1-mal Kopf) =   1 _ 2 ·   1 _ 2 ·   1 _  2 +   1 _ 2 ·   1 _ 2 ·   1 _ 2 +   1 _ 2 ·   1 _ 2 ·   1 _ 2 =   3 _ 8 P(2-mal Kopf) =   1 _ 2 ·   1 _ 2 ·   1 _ 2  +   1 _ 2 ·   1 _ 2 ·   1 _  2 +   1 _ 2 ·   1 _ 2 ·   1 _ 2 =   3 _ 8 P(3-mal Kopf) =   1 _ 2 ·   1 _ 2  ·   1 _  2 =   1 _ 8 Diese Wahrscheinlichkeiten sind in der folgenden Tabelle eingetragen und im Stabdiagramm dargestellt. Anzahl von Kopf 0 1 2 3 Wahrscheinlichkeit   1 _ 8   3 _ 8   3 _ 8   1 _  8 Beispiel 4: Wurfanzahl bis zum ersten Sechser Ein Würfel wird so lange geworfen, bis ein Sechser kommt, und die Anzahl der dazu notwendigen Würfe wird festgehalten. Die Wurfanzahl bis zum ersten Sechser kann die Werte 1, 2, 3, 4, … annehmen. Um die Wahrscheinlichkeiten für diese Werte zu bestimmen, zeichnen wir das unten- stehende Baumdiagramm, das wir uns ohne Ende fortgesetzt denken. Daraus ergibt sich: P(Sechser kommt beim ersten Wurf) =   1 _ 6 ≈ 0,167 P(Sechser kommt beim zweiten Wurf) =   5 _ 6 ·   1 _ 6 ≈ 0,139 P(Sechser kommt beim dritten Wurf) = 2    5 _ 6   3 2 ·   1 _ 6 ≈ 0,116 Durch eine Fortsetzung dieser Überlegung ergibt sich allgemein: P(Sechser kommt beim n-ten Wurf) = 2    5 _ 6   3 n – 1 ·   1 _ 6 Augensumme P 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 36 1 36 K Z K Z K Z K Z K Z K Z K Z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Anzahl von Kopf P 1 2 3 0 3 8 1 8 6 ¬6 6 ¬6 6 ¬6 1 6 5 6 1 6 5 6 1 6 5 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv