Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

185 8.2 Kurven und Flächen im Raum Beispiel 5: Rotationsellipsoide Rotiert eine in der xy-Ebene des R 3 gelegene Ellipse X = (a · cos u 1 b · sinu 1 0) um die x-Achse bzw. um die y-Achse, so entstehen Drehellipsoide. Man kann zeigen, dass diese Rotationsflächen durch die folgenden Parameterdarstellungen beschrieben werden können: Rotation um die x-Achse: Rotation um die y-Achse: X = (a · cos u 1 b · sinu · cos v 1 b · sinu · sinv) X = (a · cos u · cos v 1 b · sinu 1 a · cos u · sinv) mit u * [0; 2 π [ und v * [0; 2 π [ mit u * [0; 2 π [ und v * [0; 2 π [ Aufgaben Vertiefung 8.22 Gib eine Parameterdarstellung der durch die Gleichung z = f(x 1 y) festgelegten Raumfläche an und betrachte die Fläche mit Hilfe eines Computerprogramms! a) z = y 2 d)  z = ​ 9 ______ 4 – x 2 – y 2 ​  g)  z = cos 2  x  j) z = cos 2  x + sin 2  y b) z = x 2 – y 2 e)  z = ​ 9 ______ x 2 + y 2 – 4​  h)  z = sin(x + y)  k) z = 4 · ​e​ –​  ​x​ 2 ​+ ​y​ 2 ​ _ 2  ​ ​ c) z = ​ 9 ____ x 2 + y 2 ​ f)   z = ​ 9 _____ x 2 + y 2 + 1​  i)   z = cos(x · y)  l) z = 4 · ​e​ –​  ​x​ 2 ​+ ​y​ 2 ​ _ 2  ​ ​· cos(x 2 + y 2 ) 8.23 Gib eine Parameterdarstellung der Mantelfläche eines Drehzylinders mit dem Radius 1 und der Höhe 5 an, der  a) symmetrisch zur x-Achse,  b) symmetrisch zur y-Achse liegt! 8.24 Bette die folgende ebene Kurve in die xy-Ebene des R 3 ein und drehe die Kurve  1) um die x-Achse,  2) um die y-Achse! Gib eine Parameterdarstellung der entstehenden Rotationsfläche an und betrachte die Rotationsfläche mit Hilfe eines Computerprogramms! a) Graph der Funktion f(t) = t 2 mit t * [0; 4] c) X = (3 · cos t 1 3 · sin t) mit t * [0; 2 π [ b) Graph der Funktion f(t) = cos t mit t * ​ 4  – ​  π  _ 2 ​ ; ​  π  _ 2 ​  5 ​ d) X = (5 · cos 3 t 1 5 · sin 3 t) mit t * [0; 2 π [ 8.25 Bette den Graphen der linearen Funktion f mit f(t) = 2 · t in die xy-Ebene des R 3 ein und gib eine Parameterdarstellung der Mantelfläche des Doppelkegels an, der durch Rotation dieses Graphen a) um die x-Achse bzw.  b) um die y-Achse entsteht! 8.26 Rotiert ein in der xy-Ebene des R 3 gelegener Kreis mit dem Mittelpunkt M = (0 1 3 1 0) und dem Radius r = 1 um die x-Achse, so entsteht ein Torus (siehe die Abbildung rechts). Gib eine Parameterdarstellung dieser Torusfläche an! 8.27 Beschreibe die Fläche, die durch die folgende Parameterdarstellung festgelegt wird! 1) (u · cos v 1 u · sinv 1 0) a)  wobei 0 ª u ª 4  ?  0 ª v < 2 π b)  wobei 2 ª u ª 4  ?  0 ª v < 2 π 2) (u · cos v 1 u · sinv 1 u) a)  wobei 0 ª u ª 4  ?  0 ª v < 2 π b)  wobei 1 ª u ª 4  ?  0 ª v < 2 π 3) (u + cos v 1 u + sinv 1 u) a)  wobei 0 ª u ª 4  ?  0 ª v < 2 π b)  wobei 0 ª u ª 4  ?  0 ª v ª π 8.28 Welcher Teil der Kugelfläche X = (r · cos u 1 r · sinu · cos v 1 r · sinu · sinv) wird dargestellt, wenn die Parameter u und v aus folgenden Bereichen stammen? a) 0 ª u ª π ?  0 ª v ª π b) 0 ª u ª ​  π  _ 2 ​ ?  0 ª v ª 2 π c) 0 ª u ª π ? π ª v ª 2 π x y z x y z x y z Ó Ó x y z Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv