Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

184 8 Kurven und Flächen Parameterdarstellungen von Flächen im Raum Flächen im Raum können auch durch Parameterdarstellungen festgelegt werden. Wir kennen schon die Parameterdarstellung einer Ebene: X = P + u · _  À  a+ v · _  À  b (mit u, v * R und _  À  a≠ _  À  o, _  À  b≠ _  À  o) Lässt man anstelle des linearen Vektorterms in u und v auch nichtlineare Vektorterme in u und v zu, erhält man Parameterdarstellungen anderer Flächen. Beispiel 1: Paraboloid Setzt man in der Gleichung z = x 2 + y 2 eines Paraboloids x = u und y = v, so erhält man eine Parameterdarstellung des Paraboloids: X = (u 1 v 1 u 2 + v 2 ) mit u, v * R Beispiel 2: Mantelfläche eines Drehzylinders Die Parameterdarstellung X = (2 · cos u 1 2 · sinu 1 v) mit u * [0; 2 π [ und v * [0; 4] beschreibt die Mantelfläche eines Drehzylinders mit dem Radius 2 und der Höhe 4, dessen Grundfläche in der xy-Ebene des R 3 liegt und dessen Grundflächenmittelpunkt O = (0 1 0 1 0) ist. Beispiel 3: Rotation einer ebenen Kurve um die x-Achse Die Parameterdarstellung X = (u 1 9 _ u 1 0) mit u º 0 beschreibt den in die xy-Ebene des R 3 eingebetteten Graphen der reellen Funktion u ¦ 9 _ u. Rotiert diese Kurve nun um die x-Achse des R 3 , so entsteht die nebenstehend abgebildete Rotationsfläche. Für jedes u º 0 erzeugt die Rotation einen Kreis mit dem Mittelpunkt M = (u 1 0 1 0) und dem Radius 9 _ u, der parallel zur yz-Ebene liegt. Dieser Kreis wird durch die Kurve X = (u 1 9 _ u· cos v 1 9 _ u· sinv) mit v * [0; 2 π [ beschrieben. Eine Parameterdarstellung der Rotationsfläche ist somit gegeben durch: X = (u 1 9 _ u· cos v 1 9 _ u· sinv) mit u º 0 und v * [0; 2 π [ Allgemein entsteht bei Rotation der Kurve X = (f 1 (u) 1 f 2 (u) 1 0) mit u * I um die x-Achse die Rotationsfläche X = (f 1 (u) 1 f 2 (u) · cos v 1 f 2 (u) · sinv) mit u * I und v * [0; 2 π [ Beispiel 4: Rotation einer ebenen Kurve um die y-Achse Nun soll die in Beispiel 3 betrachtete Kurve X = (u 1 9 _ u 1 0) um die y-Achse rotieren. Für jedes y = 9 _ uerzeugt die Rotation in diesem Fall einen Kreis mit dem Mittelpunkt M = (0 1 9 _ u 1 0) und dem Radius u, der parallel zur xz-Ebene liegt. Dieser Kreis wird durch die Kurve X = (u · cos v 1 9 _ u 1 u · sinv) mit v * [0; 2 π [ beschrieben. Eine Parameterdarstellung der Rotationsfläche ist somit gegeben durch: X = (u · cos v 1 9 _ u 1 u · sinv) mit u º 0 und v * [0; 2 π [ Allgemein entsteht bei Rotation der Kurve X = (f 1 (u) 1 f 2 (u) 1 0) mit u * I um die y-Achse die Rotationsfläche X = (f 1 (u) · cos v 1 f 2 (u) 1 f 1 (u) · sinv) mit u * I und v * [0; 2 π [ x y z 4 0 2 u x y z v u x y z v √u Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv