Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

183 8.2 Kurven und Flächen im Raum Aufgaben Vertiefung 8.21 Betrachte die folgende Raumkurve mittels Computerprogramm und beschreibe sie! a) X = (t 1 2t 1 3t) mit t * R e) X = (3 · cos t 1 3 · sin t 1 t) mit t * [– 4 π ; 4 π ] b) X = (t 1 t 1 t 2 ) mit t * R f) X = 2    t _ 3 · cos t  1    t _ 3   · sin t  1    t _ 3     3 mit t * [0; 4 π ] c) X = (t 1 t 2 1 0) mit t * R g) X = (2 + cos t 1 sin t 1 0) mit t * [0; 2 π ] d) X = (t 1 0 1 9 _ t) mit t * R + h) X = (4 · cos t 1 1 1 4 · sin t) mit t * [0; 2 π ] Gleichungen von Flächen im Raum Eine Ebene im Raum kann man durch eine Gleichung der folgenden Form darstellen: n 1 x + n 2 y + n 3 z = c mit (n 1 1 n 2 1 n 3 ) ≠ (0 1 0 1 0) Es liegt nahe, statt dieser linearen Gleichung in x, y, z auch nichtlineare Gleichungen in x, y, z zuzulassen. Dadurch erhält man Darstellungen anderer Flächen im Raum. Von besonderem Interesse sind Flächen F im Raum, die durch eine explizite Gleichung der Form z = f(x, y) beschrieben werden können. In diesem Fall wird jedem Punkt (x 1 y) der xy-Ebene aus einem bestimm- ten Bereich A genau ein Raumpunkt (x 1 y 1 z) mit z = f(x, y) zugeordnet, der auf der Fläche F liegt (siehe nebenstehende Abbildung). Beispiel: Paraboloid z = x 2 + y 2 Jedem Punkt (x 1 y) * R 2 wird der Wert z = x 2 + y 2 zugeordnet. Die aus den Punkten (x 1 y 1 z) bestehende Fläche nennt man ein Paraboloid. Setzt man y = 0, erhält man eine Gleichung der Schnittkurve des Paraboloids mit der xz-Ebene: z = x 2 . Dies ist die Gleichung einer Parabel in 2. Hauptlage in der xz-Ebene (rot gezeichnet). Setzt man x = 0, erhält man eine Gleichung der Schnittkurve des Paraboloids mit der yz-Ebene: z = y 2 . Dies ist die Gleichung einer Parabel in 2. Hauptlage in der yz-Ebene (blau gezeichnet). Alle Ebenen durch die z-Achse schneiden das Paraboloid in Parabeln gleicher Form. Das Para boloid kann man sich daher durch Rotation dieser Parabeln um die z-Achse erzeugt denken. Allerdings lässt sich nicht jede Fläche im Raum in der Form z = f(x, y) beschreiben: Beispiel: Zylindermantel x 2 + y 2 = r 2 (z beliebig) Die Punkte (x 1 y) liegen auf einem Kreis in der xy-Ebene mit dem Mittel- punkt O und dem Radius r. Jedem dieser Punkte werden alle z * R zugeordnet. Die aus den Punkten (x 1 y 1 z) bestehende Fläche ist die Mantelfläche eines nach oben und unten unbegrenzten Zylinders. Setzt man y = 0, erhält man Gleichungen der Schnittgeraden des Zylinders mit der xz-Ebene: x = r und x = – r (rot gezeichnet). Setzt man x = 0, erhält man Gleichungen der Schnittgeraden des Zylinders mit der yz-Ebene: y = r und y = – r (blau gezeichnet). Alle Ebenen durch die z-Achse schneiden den Zylinder in Parallelen zur z-Achse im Abstand r. Den Zylinder kann man sich durch Rotation dieser Geraden um die z-Achse erzeugt denken. Ó y x z F A (x 1 y) x y z y x x (x 1 y) x y z z x x y y (x 1 y) z r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv