Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

182 8.2 Kurven und Flächen im Raum Kurven im Raum Kurven im Raum kann man auf analoge Weise durch eine Parameterdarstellung angeben wie Kurven in der Ebene. Allgemein sieht eine solche Darstellung so aus: X = f(t) = (​f​ 1 ​ (t)  1  ​f​ 2 ​ (t)  1  ​f​ 3 ​ (t)) , wobei f 1 : A ¥ R , f 2 : A ¥ R und f 3 : A ¥ R Sofern die Funktionen f 1  , f 2  , f 3 in einem Intervall 1 definiert und stetig sind, liegen die Punkte X auf einer Kurve k im Raum. Diese Kurve k lässt sich als Punktmenge so darstellen: k = {X * ​R ​ 3 ​ ‡ X = f(t) = (​f​ 1 ​ (t)  1  ​f​ 2 ​ (t)  1  ​f​ 3 ​ (t))  ?  t * I} Durch diese Parameterdarstellung wird jedem Parameterwert t * I genau ein Punkt X = f(t) in R 3 zugeordnet. Durchläuft t das Intervall I, dann durchläuft der Punkt X = f(t) die Kurve. Beispiel 1: Parameterdarstellung einer Schraubenlinie Wir betrachten die in der nebenstehenden Abbildung dargestellte Schraubenlinie mit dem „Radius“ r und der „Ganghöhe“ h. Für einen Punkt X = (x 1 y 1 z) auf der Schraubenlinie gilt: x = r · cos t, y = r · sin t, z = c · t Dabei ist c so zu bestimmen, dass z für t = 2 π den Wert h annimmt, also h = c · 2 π  und somit c = ​  h _  2 π ​  ist. Daraus ergibt sich die folgende Parameterdarstellung der Schraubenlinie: X = ​ 2  r · cos t ​  1  r · sin t ​  1  ​  h _  2 π ​ ​ ​ ​ ​ · t  3 ​ mit t * R Die Schraubenlinie S kann man so darstellen: S = ​ {  X * R 3 ​  ‡  X = ​ 2  r · cos t ​  1  r · sin t​  1  ​  h _  2 π ​ ​ ​ ​ ​ · t  3 ​ ​ ​ ?  t * R  } ​ bzw. S = ​ {  (x 1 y 1 z) * R 3 ​  ‡  x = r · cos t  ?  y = r · sin t  ?  z = ​  h _  2 π ​ · t  ?  t * R ​​  } ​ Beachte, dass sich die Schraubenlinie unter die xy-Ebene fortsetzt! Beispiel 2: Einbettung ebener Kurven in den ​ R​ 3 ​ Eine durch die Parameterdarstellung X = (f 1  (t) 1 f 2  (t)) mit t * I gegebene ebene Kurve kann folgendermaßen in eine der drei Koordinatenebenen des R 3 eingebettet werden: Einbettung der Kurve in die xy-Ebene des R 3 : X = (f 1  (t) 1 f 2  (t) 1 0) mit t * I Einbettung der Kurve in die xz-Ebene des R 3 : X = (f 1  (t) 1 0 1 f 2  (t)) mit t * I Einbettung der Kurve in die yz-Ebene des R 3 : X = (0 1 f 1  (t) 1 f 2  (t)) mit t * I Ähnlich kann man bei der Einbettung einer Kurve parallel zu einer Koordinatenebene des R 3 verfahren. So legt zum Beispiel X = (5 · cos t 1 5 · sin t 1 1) mit t * [0, 2 π [ einen Kreis in R 3 mit dem Mittelpunkt M = (0 1 0 1 1) und dem Radius r = 5 fest, der parallel zur xy-Ebene liegt. Für jede reelle Funktion t ¦ f(t) beschreibt X = (t 1 f(t) 1 0) eine Einbettung des Graphen von f in die xy-Ebene des R 3 . Ó 5i5b5j h t r X y x z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv