Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

181 8.1 Kurven in der Ebene Polardarstellung von Kurven in R 2 Man kann die Punkte einer Kurve k in R 2 auch durch r und φ wie in nebenstehender Abbildung festlegen. Es genügt dazu, r als stetige Funktion von φ anzugeben: r = f( φ ). Dadurch wird jedem φ aus einem bestimmten Bereich genau ein Punkt X = [r 1 φ ] zugeordnet. Eine solche Darstellung bezeichnet man als Polardarstellung der Kurve k . 8.16 Ein Gedankenexperiment: Eine Scheibe dreht sich mit konstanter Winkel- geschwindigkeit ω im Gegenuhrzeigersinn. Eine kleine Raupe befindet sich zu Beginn im Mittelpunkt der Scheibe und kriecht mit konstanter Geschwindigkeit v radial nach außen. Auf welcher Kurve bewegt sich die Raupe für einen Beobachter, der von oben auf die Schreibe blickt? Lösung: Da sich die Scheibe mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω dreht, beträgt das Bogenmaß φ des Drehwinkels zum Zeitpunkt t: φ = ω · t. Da die Raupe mit konstanter Geschwindigkeit nach außen kriecht, gilt für ihre Entfernung r zum Zeitpunkt t: r = v · t Aus beiden Gleichungen ergibt sich: r = v · t = v · ​  φ  _ω ​ = ​  v _ω ​ · φ Somit erhalten wir die folgende Polardarstellung der gesuchten Kurve: r( φ ) = ​  v _ω ​ · φ Diese Kurve bezeichnet man als Archimedische Spirale . Sie ist nebenstehend für ​  v _ω ​ = 2 und φ * [0; 6 π ] abgebildet. Aufgaben Vertiefung 8.17 Betrachte Archimedische Spiralen mittels Computerprogramm mit verschiedenen selbst gewählten Werten für v und ω ! Wie ändert sich die Spirale, wenn v (bei konstantem ω ) wächst bzw. wenn ω (bei konstantem v) wächst? 8.18 Eine Kurve mit der Polardarstellung r = c · ​e​ a φ ​ (mit c, a * R + ) heißt logarithmische Spirale . Sie ist in der nebenstehenden Abbildung für c = 1,1 und a = 0,08 dargestellt. Betrachte logarithmische Spiralen auf einem Computerbildschirm mit verschiedenen selbst gewählten Werten für c und a! Wie ändert sich die Spirale, wenn c (bei konstantem a) wächst bzw. wenn a (bei konstantem c) wächst? 8.19 (Fortsetzung von 8.17 und 8.18): Eine Kurve habe die Polardarstellung r = f( φ ). Für die Archimedische Spirale ist f( φ ) = ​  v _ω ​ · φ , für die logarithmische Spirale ist f( φ ) = c · ​e​ a φ ​ . Wählt man für f eine beliebige stetige und streng monoton steigende Funktion, so erhält man als Kurve stets eine Spirale. Experimentiere mit verschiedenen Funktionen dieser Art und betrachte die entstehenden Spiralen mittels Computerprogramm! 8.20 Betrachte die folgenden Kurven der Form r = f( φ ) mittels Computerprogramm! a) Kardioide (Herzkurve): r = 2a · (1 + cos( φ )) c) Nephroide: r = a + 2 · a · sin​ 2  ​  φ  _  2 ​ 3 ​ b) Cartesisches Blatt: r = ​  3a · sin φ · cos φ   ___  sin 3 φ + cos 3 φ ​ d) Rosenkurve: r = c · sin​ 2  ​  a _ b ​· φ  3 ​ x y X k φ r 0 r φ x y Ó n9ne29 Ó zq57vm x y Ó t26bw9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv