Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

180 8 Kurven und Flächen Dabei gilt: Ist das Verhältnis R : r ganzzahlig, so schließt sich die Kurve nach einem Umlauf des kleinen Kreises längs des großen Kreises. Ist dieses Verhältnis rational, aber nicht ganzzahlig, dann schließt sich die Kurve erst nach mehreren Umläufen. Ist dieses Verhältnis irrational, schließt sich die Kurve nie. Betrachte verschiedene Hypozykloiden mit Hilfe eines Computerprogramms und stelle fest, von welcher Form diese sind: 1) Setze zunächst d = 0 und variiere R und r! 2) Setze nun R = 2r und variiere r und d! 3) Setze r = 1 und R = 3, 4, 5, 6, 7, … und vergleiche die erhaltenen Kurven für verschiedene Werte von d! 4) Betrachte weitere Hypozykloiden mit selbst gewählten Werten für R, r und d! 8.13 Eine Kreisscheibe mit dem Radius r befinde sich im Äußeren eines größeren Kreises mit dem Radius R und rolle ohne zu gleiten auf diesem größeren Kreis ab. Dabei beschreibt ein Punkt X, der mit der Kreisscheibe fest verbunden ist, eine Kurve, die man Epizykloide (Aufradlinie) nennt. Abhängig von der Entfernung d des Punktes X vom Mittelpunkt der Kreisscheibe hat die Epizykloide verschiedene Formen: gestreckte Epizykloide gespitzte Epizykloide geschlungene Epizykloide Man kann zeigen, dass eine Epizykloide die folgende Parameterdarstellung besitzt: X = ​ 2  (R + r) · cos t – d · cos​ ​  2 ​  R + r _ r  ​· t  3 ​  1  ​(R + r) · sin t – d · sin​ 2 ​  R + r _ r  ​· t  3 ​  3 ​ mit t * R Dabei gilt: Ist das Verhältnis R : r ganzzahlig, schließt sich die Kurve nach einem Umlauf des kleinen Kreises um den großen Kreis. Ist dieses Verhältnis rational, aber nicht ganzzahlig, schließt sich die Kurve erst nach mehreren Umläufen. Ist dieses Verhältnis irrational, schließt sich die Kurve nie. Betrachte verschiedene Epizykloiden mit Hilfe eines Computerprogramms mit selbst gewählten Werten für R, r und d! 8.14 Für jeden reellen t-Wert legt die Funktionsgleichung y = f t  (x) eine Polynomfunktion fest, deren Graph einen Hochpunkt H t  , einen Tiefpunkt T t und einen Wendepunkt W t besitzt. Durchläuft t die Menge der reellen Zahlen, so bewegen sich H t  , T t und W t auf drei Kurven. Gib Gleichungen dieser Kurven an! a) x ¦ f t  (x) = x 3 – 6tx 2 + 9t 2 x – t 2 b) x ¦ f t  (x) = x 3 – 3tx 2 + 3t 2 x – 12x 8.15 Ist t ¦ f(t) eine stetige Funktion, so wird durch X = (f(t) · cos(t) 1 f(t) · sin(t)) und t º 0 eine ebene Kurve festgelegt. Betrachte solche Kurven mit Hilfe eines Computerprogramms! Wähle: (1) f(t) = r (r * R ) (3) f(t) = ​  1 + t _  1 + t 2 ​ (5) f(t) = e –t (7) f(t) = sin(a · t) (a * R *) (2) f(t) = t (4) f(t) = – t 2 (6) f(t) = ln(t) (8) f(t) = cos(a · sin(b · t)) (a, b * R *) Ó rw6a9g x y d < r X M 0 R x y 0 d = r X M R x y 0 d > r X M R Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv