Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

18 1 a b f(a) 0 t 1 k b – a f 2.2 Geometrische Deutungen des Differenzen- und Differentialquotienten Differenzenquotient als Sekantensteigung Wir beweisen zuerst einen Satz über den Differenzen- und Differentialquotienten einer linearen Funktion. Satz (1) Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) einer linearen Funktion f mit f(x) = k · x + d ist in jedem Intervall [a; b] gleich der Steigung k. (2) Der Differentialquotient einer linearen Funktion f mit f(x) = k · x + d ist an jeder Stelle x gleich der Steigung k. Beweis: (1) ​  f(b) – f(a) __  b – a  ​= ​  k · b + d – (k · a + d) ___  b – a  ​= ​  k · b – k · a __ b – a  ​= ​  k · (b – a) __ b – a  ​= k (2) f’(x) = ​ lim  z ¥ x​ ​​  f(z) – f(x) __  z – x  ​= ​ lim  z ¥ x​ ​k Für die Berechnung dieses Limes überlegen wir so: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl x, so bleibt die Zahl k stets unverändert. Dies kann man als einen Grenzfall des unbegrenzten Näherns auffassen. Wir erhalten somit: f’(x) = k  Ist die Funktion f in [a; b] nicht linear, so betrachten wir die lineare Funktion s mit s(a) = f(a) und s(b) = f(b). Diese Funktion heißt Sekantenfunktion von f in [a; b] . Der Graph von f verläuft oft in der Nähe des Graphen von s. Dies muss aber nicht immer der Fall sein. Ist k die Steigung der Sekantenfunktion s, dann gilt aufgrund des obigen Satzes: ​  f(b) – f(a) __  b – a  ​= ​  s(b) – s(a) __  b – a  ​= k Damit haben wir gezeigt: Satz Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) einer Funktion f in [a; b] ist gleich der Steigung der Sekantenfunktion von f in [a; b]. Die Steigung k der Sekantenfunktion bezeichnet man auch als mittlere Steigung von f in [a; b] . Im Intervall [a; b] kann die Steigung der Funktion f an manchen Stellen kleiner als die Steigung der Sekantenfunktion s, an manchen Stellen größer sein. Im Mittel hat f jedoch im Intervall [a; b] die Steigung k der Sekantenfunktion. Beispiel: f(x) = x 2  (mit x * ​R ​ 0 ​  + ​) Die Steigung von f ist an der Stelle 0 gleich 0, nimmt aber mit wachsendem x zu. Die mittlere Steigung im Intervall [0; 2] beträgt ​  f(2) – f(0) __  2 – 0  ​= ​  2 2 – 0 2 _ 2 – 0  ​= 2. Dies ist die Steigung der Sekantenfunktion. a b f b – a f(b) f(a) f(b) – f(a) b – a f(a) = s(a) f(b) = s(b) f(b) – f(a) = = s(b) – s(a) a b s f 0 1 2 f(x) 1 2 3 4 x s f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv