Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

179 8.1 Kurven in der Ebene 8.10 Kurven mit der Parameterdarstellung X = ​ 2  r 1  · cos​ ​  2  ​  t _ a ​  3 ​  1  ​r 2  · sin​ 2  ​  t _ b ​+ d  3 ​  3 ​ mit t * R und a, b * Z + sowie d * R und r 1  , r 2 * R + heißen Lissajouskurven . Durchläuft der Parameter t das Intervall [0; 2 π · kgV(a, b)[ , so erhält man eine geschlossene Kurve. r 1 = r 2  , a = 4, b = 3, d = 0 r 1 = r 2  , a = 17, b = 16, d = 0 r 1 = r 2  , a = 11, b = 16, d = ​  π  _  12  ​ Betrachte verschiedene Lissajouskurven mittels eines Computerprogramms (mit r 1 = r 2 = 4): 1) Wähle zunächst a = b und variiere d! Welche Kurven erhält man? 2) Zeichne verschiedene weitere Lissajouskurven mit selbst gewählten Werten für a, b und d! 8.11 Eine Kreisscheibe rollt ohne zu gleiten auf einer Geraden ab (zB ein Rad auf einer geradlinigen Straße). Dabei durchläuft ein Punkt X, der mit der Kreisscheibe fest verbunden ist, eine Kurve, die man Zykloide nennt. Abhängig von der Entfernung d des Punktes X vom Mittelpunkt M der Kreisscheibe hat die Zykloide verschiedene Formen: gestreckte Zykloide gespitzte Zykloide geschlungene Zykloide Man kann zeigen, dass eine Zykloide die folgende Parameterdarstellung besitzt: X = (r · t – d · sin t 1 r – d · cos t) mit t * R Betrachte verschiedene Zykloiden mit Hilfe eines Computerprogramms mit selbst gewählten Werten für r und d! 8.12 Eine Kreisscheibe mit dem Radius r befinde sich im Inneren eines größeren Kreises mit dem Radius R und rolle ohne zu gleiten auf diesem größeren Kreis ab. Dabei beschreibt ein Punkt X, der mit der Kreisscheibe fest verbunden ist, eine Kurve, die man Hypozykloide (Inradlinie) nennt. Je nach der Entfernung d des Punktes X vom Mittelpunkt der Kreisscheibe hat die Hypozykloide verschiedene Formen: gestreckte Hypozykloide gespitzte Hypozykloide geschlungene Hypozykloide Man kann zeigen, dass eine Hypozykloide die folgende Parameterdarstellung besitzt: X = ​ 2  (R – r) · cos t + d · cos​ ​  2 ​  R – r _ r  ​· t  3 ​  1  ​(R – r) · sin t – d · sin​ 2 ​  R – r _ r  ​· t  3 ​  3 ​ mit t * R Ó n9z2h7 Ó 9dy52t x y d < r X M 0 2r π x y X 2r π 0 M d = r x y 0 d > r 2r π X M Ó wf85z4 xR y 0 d < r X M x y d = r X M 0 R x y R d > r X M 0 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv