Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

178 8 Kurven und Flächen Aufgaben Vertiefung 8.04 Gib den Definitionsbereich und eine Funktionsgleichung jener reellen Funktion an, deren Graph durch die folgende Parameterdarstellung beschrieben wird! a) {X * R 2 ‡ X = (2t 1 t 3 – 2)  ?  t * R} d) {X * R 2  ‡ X = (2t + 1 1 t 2 + 1)  ?  t * R} b) {X * R 2  ‡ X = (t 1 t 2 + 1)  ?  t * R} e) {X * R 2  ‡ X = (t – 5 1 ​ 9 _ t​)  ?  t * ​R ​ 0 ​  + ​} c) {X * R 2  ‡ X = (4t – 1 1 2t + 5)  ?  t * R} f) ​ {  X * R 2 ​  ‡  X = ​ 2  ​ ​  ​  t 2 + 4 _  2  ​  1  ​t  3 ​ ​ ​ ?  t * ​R ​ 0 ​  + ​  } ​ Hinweis zu a): Es gilt x = 2t und y = t 3 – 2. Aus der ersten Gleichung ergibt sich t = ​  x _ 2 ​ . Einsetzen in die zweite Gleichung liefert die Funktionsgleichung y = ​  x 3 _  8 ​– 2. 8.05 Gib eine Gleichung des Kreises k an, der die folgende Parameterdarstellung hat! a) X = (3 · cos t 1 3 · sin t) mit t * [0; 2 π [ c) X = (2 + 4 · cos t 1 –1 + 4 · sin t) mit t * [0; 2 π [ b) X = (​ 9 __ 10​· cos t 1 ​ 9 __ 10​· sin t) mit t * [0; 2 π [ d) X = (–3 + 5 · cos t 1 7 + 5 · sin t) mit t * [0; 2 π [ Hinweis: Beachte beim Eliminieren des Parameters t, dass sin 2  t + cos 2  t = 1 ist! 8.06 Zeige, dass die Ellipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 durch die Parameterdarstellung ell = {X * R 2  ‡ X = (a · cos t 1 b · sin t)  ?  t * [0; 2 π [ } beschrieben werden kann! 8.07 Zeige, dass die so genannte Astroide ​x​ ​  2 _  3 ​ ​+ ​y​ ​  2 _ 3 ​ ​= ​a​ ​  2 _ 3 ​ ​(mit a * R + ) durch die Parameterdarstellung ast = {X * R 2  ‡ X = (a · cos 3  t 1 a · sin 3  t)  ?  t * [0; 2 π [ } beschrieben werden kann! 8.08 Gib eine Gleichung jener ebenen Kurve an, die durch die folgende Parameterdarstellung beschrieben wird! a) {X * R 2  ‡ X = (2t 2  1 t)  ?  t * R} d) {X * R 2  ‡ X = (4 · cos t 1 2 · sin t)  ?  t * R } b) {X * R 2  ‡ X = (t 2  1 t 3 )  ?  t * R } e) {X * R 2  ‡ X = (sin t 1 cos 2  t)  ?  t * R} c) {X * R 2  ‡ X = (t 2  1 t 2 )  ?  t * R} f) {X * R 2  ‡ X = (cos 2  t 1 sin 2  t)  ?  t * R } 8.09 Kurven mit der Parameterdarstellung X = (r · sin(at) · cos(bt) 1 r · sin(at) · sin(bt)) mit t * [0, 2 π [ und r * R + sowie a, b * Z + heißen Rosenkurven oder Rhodoneen .  a = 4, b = 1  a = 7, b = 2  a = 11, b = 6 a) Betrachte verschiedene Rosenkurven mit Hilfe eines Computerprogramms: 1) Wähle zunächst r = 4, b = 1 und a = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …! Aus wie vielen „Rosenblättern“ besteht die Kurve jeweils? 2) Wähle nun r = 4, b = 2 und a = 3, 4, 5, 6, 7, 8, …! Aus wie vielen „Rosenblättern“ bestehen diese Kurven? 3) Zeichne verschiedene Kurven mit r = 4 und folgenden Verhältnissen a : b: 2 : 1, 4 : 2, 3 : 1, 6 : 2, 4 : 1, 3 : 2, 4 : 3, 5 : 2, 5 : 3, 5 : 4, 7 : 2, 7 : 3, 7 : 4, … Welche Vermutung kann man über die einzelnen Kurven gewinnen? b) Zeige durch Umformen der obigen Parameterdarstellung, dass eine Rosenkurve mit a = b stets ein Kreis mit dem Mittelpunkt M = ​ 2  0​  1  ​  r _ 2 ​  ​ ​  3 ​und dem Radius ​  r _ 2  ​ist! Ó mh5dr9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv