Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

177 8.1 Kurven in der Ebene Parameterdarstellung von Kurven in R 2 Wir kennen die Parameterdarstellung einer Geraden: X = P + t · _  À  g= (p 1 + t · g 1 1 p 2 + t · g 2 ). Dabei ist f(t) = P + t · _  À  gein linearer Vektorterm in t. Es liegt nahe, auch nichtlineare Vektorterme f(t) zuzulassen und damit diese Darstellung zu verallgemeinern. Damit sieht eine solche Darstellung so aus: X = f(t) = (f 1 (t) 1 f 2 (t)) , wobei f 1 : A ¥ R und f 2 : A ¥ R Sofern die Funktionen f 1 und f 2 in einem Intervall I definiert und stetig sind, liegen die durch f festgelegten Punkte X auf einer Kurve in der Ebene. Definition Sind die Funktionen f 1 : t ¦ f 1 (t) und f 2 : t ¦ f 2 (t) stetig in einem Intervall I, dann bezeichnet man die Punktmenge k = {X * R 2 ‡ X = f(t) = (f 1 (t) 1 f 2 (t)) ? t * I} als Kurve in R 2 . Man nennt die Darstellung X = f(t) = (f 1 (t) 1 f 2 (t)) eine Parameterdarstellung der Kurve k . Durch diese wird jedem Parameterwert t * I genau ein Punkt X = f(t) = (f 1 (t) 1 f 2 (t)) der Kurve k in R 2 zugeordnet (siehe nebenstehende Abbildung). Oft kann man sich unter t die Zeit vorstellen. Durchläuft t das Zeitintervall I = [a; b], so durchläuft der Punkt X = f(t) die Kurve vom Anfangspunkt A = f(a) bis zum Endpunkt B = f(b). Falls I = ] – • ; b], I = [a; • [ oder I = R ist, hat die Kurve keinen Anfangs- bzw. keinen Endpunkt. Es kann vorkommen, dass verschiedenen Parameterwerten derselbe Punkt auf der Kurve zugeordnet wird. In solchen Punkten schneidet sich die Kurve selbst. Beispiel 1: Parameterdarstellung eines Kreises Gegeben sei ein Kreis k mit dem Mittelpunkt O und dem Radius r. Der Punkt X durchlaufe den Kreis einmal im Gegenuhrzeiger- sinn. Wir nehmen als Parameter das Bogenmaß t des zu X gehörigen Drehwinkels (siehe nebenstehende Abbildung). Dann ist X = (r · cos t 1 r · sin t). Somit erhalten wir folgende Parameterdarstellung des Kreises: X = (r · cos t 1 r · sin t) mit t * [0; 2 π [ Der Kreis kann so dargestellt werden: k = {X * R 2 ‡ X = (r · cos t 1 r · sin t) ? t * [0; 2 π [ } = {(x 1 y) * R 2 ‡ x = r · cos t ? y = r · sin t ? t * [0; 2 π [ } Beispiel 2: Parameterdarstellung des Graphen einer reellen Funktion Der Graph G einer stetigen reellen Funktion f: [a; b] ¥ R ‡ x ¦ f(x) ist eine Kurve in R 2 und kann ebenfalls durch eine Parameterdarstellung beschrieben werden, zum Beispiel durch: G = {X * R 2 ‡ X = (t 1 f(t)) ? t * [a; b] } Wir wissen bereits, dass die Parameterdarstellung einer Geraden nicht eindeutig bestimmt ist. Genauso kann man auch andere Kurven der Ebene auf verschiedene Arten durch Parameter darstellungen beschreiben. So sind etwa G = {X * R 2 ‡ X = (t 1 9 _ t) ? t * R 0   + } oder G = {X * R 2 ‡ X = (t 2 1 t) ? t * R 0   + } Parameterdarstellungen des Graphen derselben Funktion f: R 0   + ¥ R ‡ x ¦ 9 _ x. Ó fx48hw 0 x y X = f(t) B = f(b) A = f(a) b a I t x y 0 X = sint cost t r 2 r · cos t r · sin t 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv