Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

176 8 Kurven und Flächen Grundkompetenzen „„ Parameterdarstellungen von Kurven in der Ebene kennen und als Verallgemeinerungen von Parameterdarstellungen von Geraden auffassen können. „„ Funktionsgraphen als spezielle Kurven deuten können. 8.1 Kurven in der Ebene Der Graph jeder stetigen reellen Funktion ist eine Kurve in R 2 . Umgekehrt gibt es aber Kurven der Ebene, die nicht Graphen einer reellen Funktion sind. Beispiele dafür sind etwa die Ellipse x 2 + 4y 2 = 64 oder die Kurve k mit der Gleichung (x 2 – 1) 2 = y 2  · (3 + 2y). Die Ellipse kann man sich zumindest aus zwei reellen Funktionsgraphen zusammengesetzt denken (siehe die mittlere Abbildung), bei der Kurve k ist jedoch nicht einmal das möglich. Aufgaben Vertiefung 8.01 Jede der folgenden Gleichungen beschreibt eine Kurve der Ebene. Stelle die Kurve mit Hilfe eines Computerprogramms dar! Untersuche, ob die Kurve der Graph einer reellen Funktion x ¦ f(x) ist bzw. ob sie zumindest aus den Graphen zweier reeller Funktionen x ¦ f 1  (x) und x ¦ f 2  (x) zusammengesetzt werden kann! a) x 2 y – 3x 2 + y = 0 f) 12x 2 – y 3 (4 – y) = 0 k) x 3 – 9x – y 2 = 0 b) x 4 (x + 1) – y 2 = 0 g) 9x 2 – x 3 – 16y 2 = 0 l) 9x 2 + 2x 3 – 2y 2 = 0 c) x 3 + y 3 – 6xy = 0 h) (x 2 + 6y – 9) 2 = y 2 (9 – x 2 ) m) y 4 + x 4 – y 2 – x 2 = 0 d) 36x 2 – x 4 – 36y 2 = 0 i) x(x 2 + y 2 ) – 8y 2 = 0 n) y 2 (x + 3) – x 3 – 1 = 0 e) x 2 (y – 1) + 2xy + y + 2x = 0 j) y 2 (y 2 – 96) = x 2 (x 2 – 100) o) (x 2 – 9)(x – 3) 2 + (y 2 – 9) 2 = 0 8.02 Gib ein konkretes Beispiel für eine Gleichung  a) einer Geraden in R 2 ,  b) einer Parabel in R 2 an, die nicht Graph einer reellen Funktion x ¦ f(x) ist! 8.03 Für jedes a * R legt die folgende Gleichung eine ebene Kurve fest. Unterscheide die Fälle a > 0, a = 0 und a < 0 und skizziere in jedem Fall die typische Form der Kurve! a) x 2 (x – a) – y 2 = 0 b) x(x – a) 2 – y 2 = 0 c) x 2 (x 2 – a) – y 2 = 0 d) ax 2 (a – x 2 ) – y 2 = 0 0 2 –2 –4 –6 4 6 x y 2 –2 4 –4 x 2 + 4y 2 = 64 0 2 –2 –4 –6 4 6 x y 2 –2 4 –4 f 1 (x) = · 1 2 64 – x 2 f 2 (x) = – · 1 2 64 – x 2 0 –1 1 x y 1 –1 k: (x 2 – 1) 2 = y 2 (3 + 2y) Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv